3 フーリエ変換

3.1 フーリエ変換

技術者にとって，フーリエ積分よりもフーリエ変換の方が重要である．指数関数形で書か れたフーリエ積分は，

$$F(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i\alpha u}\,\mathrm{d}u$$ (16)

$$f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\alpha)e^{i\alpha x} \,\mathrm{d}\alpha$$ (17)

である．式(16)はフーリエ変換(Fourier transform)， 式(17)は逆フーリエ変換(inverse Fourier transform)と呼ばれる．

これらの二つの式はよく似ているが，指数関数の符号が異なり完全に対称ではない．

フーリエ変換と逆フーリエ変換の両方の式には，係数 $1/\sqrt{1\pi}$がかかっている． この式の導出過程からも分かるように，どちらか一方に$1/(2\pi)$をかけるだけでもよい． そののうに記述した教科書も多い．どちらでも良いのある．

3.2 フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換

フーリエ変換を表す式(16)や式 (17)はオイラーの公式を使って，

$$F(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)(\cos\alpha u-i\sin\alpha u)\,\mathrm{d}u$$ (18)

$$f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(\alpha)(\cos\alpha x+i\sin\alpha x)\,\mathrm{d}\alpha$$ (19)

と書き換えることができる．

3.2.0.1 フーリエ余弦変換

もし，関数$f(x)$が偶関数であれば，式 (18)は

$$F(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\cos\alpha u\,\mathrm{d}u$$ (20)

となる．なぜならば， $\sin\alpha u$の項は偶関数と奇関数の積分でその値はゼロとなり， 積分に寄与しないからである．そして，この$F(\alpha)$も偶関数となる． $F(-\alpha)=F(\alpha)$となるからである．したがって，逆フーリエ変換は，

$$f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(\alpha)\cos\alpha x\,\mathrm{d}\alpha$$ (21)

となる．関数$f(x)$が偶関数の場合のこれらの変換をフーリエ余弦変換と呼ぶ．

3.2.0.2 フーリエ正弦変換

もし，関数$f(x)$が奇関数であれば，式 (18)は

$$F(\alpha) =-i\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\sin\alpha u\,\mathrm{d}u$$ (22)

となる．この$F(\alpha)$は奇関数である．したがって，逆フーリエ変換は，

$$f(x) =i\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(\alpha)\sin\alpha x\,\mathrm{d}\alpha$$ (23)

となる．これらの変換には虚数単位の$i$があり，みっともない．そこで，

$$\frac{F(\alpha)}{-i}=iF(\alpha)\to F(\alpha)$$ (24)

と変数変換する．すると，

$$F(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\sin\alpha u \,\mathrm{d}u$$ (25)

$$f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\alpha)\sin\alpha x \,\mathrm{d}\alpha$$ (26)

となる．関数$f(x)$が偶関数の場合のこれらの変換をフーリエ正弦変換と呼ぶ．
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著者: 山本昌志