導関数のフーリエ変換は,非常に重要で電気の問題にしばしば表れる.多分,諸君は知ら
ないうちにそれを使っている.ここで,ちゃんとした話としておこう.
導関数
のフーリエ変換を
とする.部分積分を利用すると,
![$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 11 \frac{\,\mathrm...
...frac{i\omega}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$](img100.png) |
(20) |
が得られる.自然界の物理量
![$ f$](img101.png)
は,
![$ f(-\infty)=f(\infty)=0$](img102.png)
である.したがって,こ
の式の第一項は,ゼロに収束し,
![$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 11 \frac{\,\mathrm...
...t{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}t =i\omega F(\omega)$](img103.png) |
(21) |
となる.ようするに導関数のフーリエ変換は,元の関数の
![$ -i\omega$](img104.png)
倍である.
![$ n$](img105.png)
階の
導関数でも同様に,
となる.
図
9のRL直列回路のインピーダンスを考える.インダクタンスを
![$ L$](img107.png)
,
レジスタンスを
![$ R$](img108.png)
とした場合のキルヒホッフの法則は,
![$\displaystyle V(t)-RI(t)+L \if 11 \frac{\,\mathrm{d}I(t)}{\,\mathrm{d}t} \else \frac{\,\mathrm{d}^{1} I(t)}{\,\mathrm{d}t^{1}}\fi =0$](img109.png) |
(23) |
となる.ただし,電源の電圧は電流の流れる方向を正としている.電源電圧は時間ととも
に変化する.それにしたがい回路に流れる電流も変化する.これの両辺に
![$ e^{i\omega
t}/\sqrt{2\pi}$](img110.png)
を乗じて区間
![$ [-\infty,\infty]$](img111.png)
で積分を行う.
式(
23)を使って,整理すると
![$\displaystyle \tilde{V}(\omega)-R\tilde{I}(\omega)-i\omega L\tilde{I}(\omega)=0$](img113.png) |
(25) |
となる.ここで,
![$ \tilde{V}(\omega)$](img114.png)
は
![$ V(t)$](img115.png)
のフーリエ変換,
![$ \tilde{I}(\omega)$](img116.png)
は
![$ I(t)$](img117.png)
のフーリエ変換である.電源から見た回路のインピーダンス--周波数の関数--は
![$\displaystyle Z(\omega)=\frac{\tilde{V}(\omega)}{\tilde{I}(\omega)}$](img118.png) |
(26) |
と定義できる.したがって,図
9の電源から見たインピーダンスは,
式(
25)より,
![$\displaystyle Z(\omega)=R+i\omega L$](img119.png) |
(27) |
となる.電気回路でいつも見る式である.諸君は知らず知らずのうちにフーリエ変換を使っ
ていたのである.
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年2月22日