3 電気回路に応用

3.1 導関数のフーリエ変換

導関数のフーリエ変換は，非常に重要で電気の問題にしばしば表れる．多分，諸君は知らないうちにそれを使っている．ここで，ちゃんとした話としておこう．

導関数 $f^\prime(t)$ のフーリエ変換を $g(\omega)$ とする．部分積分を利用すると，

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 11 \frac{\,\mathrm... ...frac{i\omega}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$

(20)

が得られる．自然界の物理量

は， $f(-\infty)=f(\infty)=0$ である．したがって，この式の第一項は，ゼロに収束し，

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 11 \frac{\,\mathrm... ...t{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}t =i\omega F(\omega)$

(21)

となる．ようするに導関数のフーリエ変換は，元の関数の $-i\omega$ 倍である．

階の導関数でも同様に，

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 1n \frac{\,\mathrm... ...} f(t)}{\,\mathrm{d}t^{n}}\fi e^{i\omega t}\,\mathrm{d}t =(i\omega)^n F(\omega)$

(22)

となる．

3.2 RL回路

図9のRL直列回路のインピーダンスを考える．インダクタンスを

，レジスタンスを

とした場合のキルヒホッフの法則は，

$\displaystyle V(t)-RI(t)+L \if 11 \frac{\,\mathrm{d}I(t)}{\,\mathrm{d}t} \else \frac{\,\mathrm{d}^{1} I(t)}{\,\mathrm{d}t^{1}}\fi =0$

(23)

となる．ただし，電源の電圧は電流の流れる方向を正としている．電源電圧は時間とともに変化する．それにしたがい回路に流れる電流も変化する．これの両辺に $e^{i\omega t}/\sqrt{2\pi}$ を乗じて区間 $[-\infty,\infty]$ で積分を行う．

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty V(t)e^{i\omega t}\,\ma... ...hrm{d}t =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty 0e^{i\omega t}\,\mathrm{d}t$