2 有限区間で定義された関数のフーリエ級数

2.2 余弦フーリエ級数と正弦フーリエ級数の具体例

ここでは，余弦フーリエ級数と正弦フーリエ級数の具体例として図1のように $[0,\pi]$ で定義された関数を考える．

2.2.0.1 余弦フーリエ級数

余弦フーリエ級数の係数

は，式 (4)から直ちに計算できる．

$\displaystyle a_n$	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cos nx \,\mathrm{d}x$
の場合は，直ちに
	$\displaystyle =\pi\qquad\qquad(n=0)$
$n\ne 0$ の場合は部分積分を使う
	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n}\right]_0^\pi- \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin nx}{n}\,\mathrm{d}x$
	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n^2}\right]_0^\pi$
	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos n\pi-1}{n^2}\right]$
は整数なので， $\cos n\pi=(-1)^n$ となる．ゆえに，
	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left(\frac{(-1)^n-1}{n^2}\right)$	(5)

以上より，図1の余弦フーリエ級数は次のように書くことができる．

$\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left[\cos x+\frac{\cos 3x}{3^3}+ \frac{\cos 5x}{5^2}+\dots+\frac{\cos (2n-1)x}{(2n-1)^2}+\cdots\right]$

(6)

図: 区間 $[0,\,L]$ で定義された関数
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/x.eps}$

2.2.0.2 正弦フーリエ級数

一方，正弦フーリエ級数は，次のようになる．

$\displaystyle b_n$	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx \,\mathrm{d}x$
部分積分を使うと
	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_0^\pi+ \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\cos nx}{n}\,\mathrm{d}x$
	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi\cos n\pi}{n}\right)+ \frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin nx}{n^2}\right]_0^\pi$
は整数なので， $\cos n\pi=(-1)^n$ となる．ゆえに，
	$\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right)$
	$\displaystyle =\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$	(7)

以上より，図1の正弦フーリエ級数は次のように書くことができる．

$\displaystyle f(x)=2\left[\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}- \dots+(-1)^{n+1}\frac{\sin nx}{n}+\cdots\right]$

(8)

余談であるが， $x=\pi/2$ の値を考えると面白い結果が得られる．f(x)での値は $\pi/2$ で，式(8)を使うと，

$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle =2\left[\sin\frac{\pi}{2}-\frac{\sin\pi}{2}+\frac{\sin\frac{3\pi}{2}}{3}- \dots+(-1)^{n+1}\frac{\sin\frac{n\pi}{2}}{n}+\cdots\right]$
	$\displaystyle =2\left[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+ \frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right]$	(9)

が得られる．これより，ライプニッツの公式

$\displaystyle \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+ \frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots$

(10)

が得られる．この式は感動的である．元々円周率は円の直径と周長の比と幾何学的にで定義された．それが，このような単純な解析的な式で表せるのである．これで，周長と直径を測定して円周率を求めることから開放された．

区間 $[0,\,L]$ で定義された関数は，ここで示した余弦フーリエ級数や正弦フーリエ級数の他に，テイラー展開(テイラー級数)で表すこともできる．ただし，フーリエ級数は不連続関数も取り扱えるが，テイラー展開の場合連続な関数という制限はある．先ほどの例を，それぞれの級数で展開した場合の比較を図2に示す．区間 $[0,\,\pi]$ では，どれも関数を正確に記述している．しかし，区間を外れるとその振舞は大きく異なる．

どの方法がよいのだろうか?．それは，取り扱う問題に依存する．諸君は，もっとも適切な方法を選択すれば良い．この辺の話は，来週の講義で行う．

図: 区間 $[0,\,\pi]$ でと定義された関数を様々な級数で表す．
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/3_series.eps}$

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成18年12月1日

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+a_1\cos\frac{\pi x}{L}+a_2\cos\frac{2\pi x}{L}+ a_3\cos\frac{3\pi x}{L}+\cdots$
	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi x}{L}$	(2)
	ただし， $\displaystyle a_n=\frac{1}{2L}\int_0^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =b_1\sin\frac{\pi x}{L}+b_2\sin\frac{2\pi x}{L}+ b_3\sin\frac{3\pi x}{L}+\cdots$
	$\displaystyle =\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L}$	(4)
	ただし， $\displaystyle b_n=\frac{1}{2L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$

2 有限区間で定義された関数のフーリエ級数

2.1 余弦フーリエ級数と正弦フーリエ級数

2.2 余弦フーリエ級数と正弦フーリエ級数の具体例

2.2.0.1 余弦フーリエ級数

2.2.0.2 正弦フーリエ級数

2.3 フーリエ級数とテイラー展開