2 周期関数のフーリエ級数

2.1 周期$2\pi$の場合

2.1.1 三角関数の直交性

関数の集まり $\{\phi_1(x),\,\phi_2(x),\,\phi_2(x),\,\cdots\}$があるとき，

$$\int_a^b\phi_m(x)\phi_n(x)\,\mathrm{d}x= \begin{cases}>0 & (m=n)\\ =0 & (m\ne n) \end{cases}$$ (1)

のとき， ${\phi_m(x)}$を区間$[a,\,b]$での直交関数系と言う．あたかもベクトル $\{\boldsymbol{A}_1,\,\boldsymbol{A}_2,\,\boldsymbol{A}_3,\,\cdots\}$が直交しているのと同じ．ベクトルの内 積の演算が，関数では積分になる．

フーリエ級数は，関数の集まり² $\{1,\,\cos x,\,\cos 2x,\,\cos 3x,\,\cdots,\,\sin x,\,\sin 2x,\,\sin 3x,\,\cdots\}$で周期関数を表したものである．これらの関数が直 交関数系になることを示す．フーリエ係数を計算する場合，この直交関係が重要になる． それを証明するために，次の順序で式(1)の積分を行う． -4pt

1. コサイン(余弦関数)間の直交関係
2. サイン(正弦関数)間の直交関係
3. コサインとサインの間の直交関係
4. 定数関数$1$とコサインとの直交関係
5. 定数関数$1$とサインの直交関係

それでは直交関数系と成っていることを示そう．$m$と$n$を自然数として，最初にコサイン同士の積分の計算を行う．

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx =\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\right) \left(\frac{e^{imx}+e^{-imx}}{2}\right)\,\mathrm{d}x$$

$$=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i(n+m)x}+e^{-i(n+m)x}+e^{i(n-m)x}+e^{-i(n-m)x}}{4}\,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left[\cos(n+m)x+\cos(n-m)x\right]\,\mathrm{d}x$$

$$=\begin{cases}\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(n+m)x}{n+m}+x\right]_{-... ...n(n+m)x}{n+m}+\frac{\sin(n-m)x}{n-m}\right]_{-\pi}^{\pi} & (n\ne m) \end{cases}$$

$$=\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$$ (2)

同じことをサインの積に対して行う．

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x =\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right) \left(\frac{e^{imx}-e^{-imx}}{2i}\right)\,\mathrm{d}x$$

$$=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i(n+m)x}-e^{-i(n+m)x}-e^{i(n-m)x}+e^{-i(n-m)x}}{-4} \,\mathrm{d}x$$

$$=-\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left[\cos(n+m)x-\cos(n-m)x\right]\,\mathrm{d}x$$

$$=\begin{cases}-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(n+m)x}{n+m}-x\right]_{... ...n(n+m)x}{n+m}-\frac{\sin(n-m)x}{n-m}\right]_{-\pi}^{\pi} & (n\ne m) \end{cases}$$

$$=\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$$ (3)

が得られる．サインとコサインの積は簡単で，$\sin nx$は奇関数， $\cos mx$は偶関数である．その積は奇関数となる．したがって，

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x=0$$ (4)

となる．最後に，定数関数$1$と$\sin nx$，$\cos nx$の積分をおこなう．

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,\mathrm{d}x = 0$$ (5)

以上より，任意の関数$f(x)$をフーリエ級数で展開するときの関数の集合

$$\{1,\,\cos x,\,\cos 2x,\,\cos 3x,\,\cdots,\,\sin x,\,\sin 2x,\,\sin 3x,\,\cdots\}$$

は直交関数系となっていることが分かる．

2.1.2 フーリエ係数の計算

周期$2\pi$の関数$f(x)$は，次のように三角関数の和で表すことができる．

$$f(x) =\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x+\cdots +b_1\sin x+b_2\sin 2x+b_3\sin 3x+\cdots$$

$$=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$ (6)

これをフーリエ級数(Fourier series)と言い，自然現象の解析に大変役立つものである． 三角関数の係数$a_n$と$b_n$は，三角関数の成分の大きさを表す．$a_n$と$b_n$は次のよ うにして求めることができる．

2.1.2.1 $a_0$の計算

式(6)の両辺を区間 $[-\pi,\pi]$で積分を行う．

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\,\mathrm{d}x +\sum_{n=1}^{\infty}... ...pi}^{\pi}\cos nx\,\mathrm{d}x +b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,\mathrm{d}x\right\}$$
                式(5)を使うと

$$=a_0\pi$$ (7)

これより，

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x$$ (8)

となり，$a_0$を求めることができる．

この式をよく見ると，$a_0/2$は$f(x)$の平均値となっている．電気回路では，この平均 値のことを直流成分と言う．

2.1.2.2 $a_n$の計算

式(6)の両辺に$\cos mx$を乗じて区間 $[-\pi,\pi]$で積分を行う-- ことにより，コサインの係数の$a_n$を求める．ただし，$m$は自然数とする．

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,\mathrm{d}x =\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\,\mathrm{d}x +\sum_{n=1}^{... ...nx\cos mx\,\mathrm{d}x +b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x\right\}$$
                式(5)と (2)，(4)を使うと

$$=a_m\pi$$ (9)

これより，

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x$$ (10)

を計算することにより，$a_n$を求めることができる．ここで，$n=0$の場合を考える．そ うすると，式(8)と同一の式が得られる．したがって，式(8)は 式(10)に吸収され，不要となる．これが，フーリエ級数の最初の項を$a_0$と しないで，$a_0/2$とした理由である．

2.1.2.3 $b_n$計算

つぎに，式(6)の両辺に$\sin mx$を乗じ て区間 $[-\pi,\pi]$で積分を行う．

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,\mathrm{d}x =\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\,\mathrm{d}x +\sum_{n=1}^{... ...nx\sin mx\,\mathrm{d}x +b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x\right\}$$
                式(5)と(4)，(3)を使うと

$$=b_m\pi$$ (11)

これより，

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x$$ (12)

を計算することにより，$b_n$を求めることができる．

2.1.3 具体的な周期関数

試験を受けるに際して，次のような周期関数をフーリエ級数で表せるようになること．

図 1: 周期$2\pi$の矩形波

図 2: 周期$2\pi$の三角波

図 3: 周期$2\pi$ののこぎり波

2.2 周期$2L$の場合

全く同じ議論が，周期$2L$の関数$g(x)$についても成り立つ．ただし，展開する関数の集 合--基底関数--は，

$$\{1,\,\cos \frac{\pi x}{L},\,\cos\frac{2\pi x}{L},\,\cos\frac{3\p... ...,\,\sin\frac{\pi x}{L},\,\sin\frac{2\pi x}{L},\,\sin\frac{3\pi x}{L},\,\cdots\}$$

となる．このような関数で展開する場合，$g(x)$は

$$g(x) =\frac{a_0}{2} +a_1\cos \frac{\pi x}{L}+a_2\cos \frac{2\pi x}{L}+... ..._1\sin \frac{\pi x}{L}+b_2\sin \frac{2\pi x}{L}+b_3\sin \frac{3\pi x}{L}+\cdots$$

$$=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac{n\pi x}{L} +b_n\sin \frac{n\pi x}{L})$$ (13)

$$\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g\left(x\right)\cos \frac{n\pi ... ... b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g\left(x\right)\sin \frac{n\pi x}{L} \,\mathrm{d}x$$

となる．これが，任意の周期$2L$をもつ関数のフーリエ級数である．

2.3 周期$T$の場合

電気の問題でフーリエ級数を使う場合，横軸は$x$ではなく，時間軸$t$の場合が多い．そ して，周期は$2L$ではなく，$T$である．次の関係

$$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$$ (14)

に気を付けて， $2L\rightarrow T$とする．この場合，展開する関数の集合--基底関数--は，

$$\{1,\,\cos\omega t,\,\cos 2\omega t,\,\cos 3\omega t,\,\cdots,\,\sin\omega t,\,\sin 2\omega t,\,\sin 3\omega t,\,\cdots\}$$

となる．周期$T$の関数$h(t)$は，

$$h(t) =\frac{a_0}{2} +a_1\cos \omega t+a_2\cos 2\omega t+a_3\cos 3\omega t+\cdots +b_1\sin \omega t+b_2\sin 2\omega t+b_3\sin 3\omega t+\cdots$$

$$=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega t +b_n\sin n\omega t)$$ (15)

$$\quad a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h\left(x\right)\cos n\omega... ...uad b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h\left(x\right)\sin n\omega t \,\mathrm{d}t$$

となる．

一般には， $\cos\omega t$や $\sin\omega t$を基本波と呼び，$2\leqq n$の場合の $\cos n\omega t$や $\sin n\omega t$を高調波と呼ぶ．

2.4 偶関数と奇関数

偶関数や奇関数といった対称性を考えると，より次の積分の関係も得られる．

$$\int_{-a}^a \,\mathrm{d}x=2\int_{0}^a \,\mathrm{d}x \int_{-a}^a \,\mathrm{d}x=0$$ (16)

この対称性を使うと，以下の結果が得られる．

• 周期関数$f(x)$が偶関数の場合

  $$f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos \frac{n\pi x}{L}$$ (17)

  $$\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

  
  
  これをフーリエ余弦級数と呼ぶ．
• 周期関数$f(x)$が奇関数の場合

  $$f(x) =\sum_{n=1}^\infty b_n\sin \frac{n\pi x}{L}$$ (18)

  $$\qquad b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

  
  
  これをフーリエ正弦級数と呼ぶ．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志