4 最良近似としてのフーリエ級数

フーリエ級数とは全く話を別にして，区間 $[-\pi,\,\pi]$で定義された関数$f(x)$を三角 関数を用いて最小二乗法で近似する．すなわち，

$$S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$ (25)

と近似する．ここで，式(25)の係数$a_k$と $b_k$を上手に選んで，$f(x)$との二乗平均差³

$$E(a_0,\,a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n;\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_n)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[f(x)-S_n(x)]^2\,\mathrm{d}x$$ (26)

が最も小さくなるようにする．この二乗平均誤差は，係数$a_k$や$b_k$の関数となってい る．この係数の選び方により，誤差の量が変化する．

二乗平均誤差を最小にするためには，それぞれの偏微分がゼロになるときに得られる．すなわち，

が条件となる．この具体的な計算は，式(26)に式(25)を代入 して偏微分がゼロとなる$a_k$や$b_k$を求める．

4.0.0.1 $a_0$の計算

二乗平均後差が最小になる$a_0$は，次のように計算して求める．

$$= \if 11 \frac{\partial E}{\partial a_0} \else \frac{\partial^{1} E}{\partial a_0^{1}}\fi$$ 0

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}2\left\{ f(x)-\left[\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\right] \right\}\frac{1}{2}\,\mathrm{d}x$$

$$\sin kx \cos kx$$

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{f(x)-\frac{a_0}{2}\right\}\,\mathrm{d}x$$

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x +\frac{a_0}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\,\mathrm{d}x$$

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x +\frac{a_0}{2}$$ (28)

である．ゆえに，

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x$$ (29)

となる．これは，フーリエ級数の$a_0$の計算と同じ．

4.0.0.2 $a_k$の計算

二乗平均後差が最小になる$\ell$番目の係数$a_\ell$を計算する

$$= \if 11 \frac{\partial E}{\partial a_\ell} \else \frac{\partial^{1} E}{\partial a_\ell^{1}}\fi$$ 0

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}2\left\{ f(x)-\left[\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\right] \right\}\cos \ell x\,\mathrm{d}x$$
                式(5)(2)(4)を使うと，

$$=-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \ell x\,\mathrm{d}x +\frac{a_\ell}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\ell x\cos \ell x\,\mathrm{d}x$$

$$=-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \ell x\,\mathrm{d}x +a_\ell$$ (30)

したがって，

$$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,\mathrm{d}x$$ (31)

である．これもフーリエ係数の計算と同じ

4.0.0.3 $b_k$の計算

同様にし，二乗平均後差が最小になる$\ell$番めの係数$b_\ell$を計算する

$$= \if 11 \frac{\partial E}{\partial b_\ell} \else \frac{\partial^{1} E}{\partial b_\ell^{1}}\fi$$ 0

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}2\left\{ f(x)-\left[\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\right] \right\}\sin\ell x\,\mathrm{d}x$$
                式(5)(3)(4)を使うと，

$$=-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin\ell x\,\mathrm{d}x +\frac{b_\ell}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin\ell x\sin\ell x\,\mathrm{d}x$$

$$=-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin\ell x\,\mathrm{d}x +b_\ell$$ (32)

したがって，

$$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,\mathrm{d}x$$ (33)

である．これもフーリエ係数の計算と同じ．

フーリエ級数は，関数$f(x)$を最小二乗法で近似している．これは，展開する三角関数が 有限個の場合でも，その展開の項数に関わらずいつも最良近似となっている．展開の項数 に関わらず，同じ係数でいつでも最良近似となるのは，展開する三角関数の集合が直交関数 系となっているからである．

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著者: 山本昌志