諸君が使う方眼紙は,普通の方眼紙(名前??),型対数方眼紙,両対数方眼紙が主である.
これらをデータに応じて使い分ける必要がある.まず,これらの方眼紙の特徴を述べる.
これは,もっともおなじみの,x軸とy軸ともリニアーになっているものである.説明する
までもなく,よく知っているだろう.これはグラフ上の基準点からの距離(
![$ X, Y$](img1.png)
)に,デー
タ
![$ (x,y)$](img2.png)
を
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![$\displaystyle X=C_{0x}+C_{1x}x$](img3.png) |
|
![$\displaystyle Y=C_{0y}+C_{2y}y$](img4.png) |
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(1) |
のようにプロットする.
![$ C_{1x}$](img5.png)
と
![$ C_{1y}$](img6.png)
はグラフのスケールを決める定数,
![$ C_{0x}$](img7.png)
と
![$ C_{0y}$](img8.png)
はオフセットである.難しいことを言わなくても,x軸とy軸の交点(基準点)を
![$ (C_{0x},C_{0y})$](img9.png)
として,等間隔に目盛りを付けていると言うだけのことである.
したがって,x軸とy軸ともリニアーになっている方眼紙では,
の一次関数が
のように,グラフ用紙で直線になる.なぜならば,
![$ x$](img14.png)
に依存しないで,傾きが一定となっ
ているからである.このグラフの傾き
![$ \mathrm{d}Y/\mathrm{d}X$](img15.png)
と,スケールの比
![$ C_2/C_1$](img16.png)
から,デー
タの1次関数の係数
![$ a$](img17.png)
が分かるのである.
この方眼紙の軸は,ちょっと変わっていて,片方はリニアーで,もう一方は対数軸となっている.横軸,縦軸のいずれも対数軸にすることができる.ここでは話を簡単にするために,縦軸を対
数軸とする.そうすると,横軸はリニアー軸になる.先ほどと同様にグラフ上の基準点か
らの距離を
![$ (X,Y)$](img18.png)
とする.この場合は,
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![$\displaystyle X=C_{0x}+C_{1x}x$](img19.png) |
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![$\displaystyle Y=C_{0y}+C_{1y}\log_{10}y$](img20.png) |
|
(3) |
となる.ここで,
![$ C_{0x}$](img21.png)
と
![$ C_{0y}$](img22.png)
はグラフの原点を決めるオフセット値である.
![$ C_{1x}$](img23.png)
と
![$ C_{1y}$](img24.png)
はグラフのスケールを決める定数である.
このようなグラフで直線となる関数を考えることにする.そのために,値
がちょっとだけ変化した場合,グラフ上の点の動きを調べてみよう.それは,
|
![$\displaystyle \mathrm{d}X=C_{1x}\mathrm{d}x$](img26.png) |
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![$\displaystyle Y=\frac{C_{1y}}{\log_e 10}\frac{\mathrm{d}y}{y}$](img27.png) |
|
(4) |
となる.これから,グラフ上で,傾き
![$ \alpha$](img28.png)
を持つ直線は,
となる.ここで,縦軸と横軸のスケールの比
![$ C_{1y}/C_{1x}$](img30.png)
は1にしたグラフが多い
2.そこで,この比を1として,話を進める.グラフ上で直線になる関数は,式
13の微分方程式の解である.この微分方程式は
![$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(\alpha\log_e 10)y$](img31.png) |
(6) |
と見覚えがあるものに書き換えることができる.この方程式の解は,
となる.ここで,
![$ k$](img35.png)
は積分定数である.この結果から,方対数グラフ上では指数関数が直線で表されるのである.いうまでもないが,
![$\displaystyle k\times 10^{\alpha x}=k\times\exp\left(\frac{\alpha}{\log_{10}e}x\right)$](img36.png) |
(9) |
となるので,底が10であろうが,ネピア
![$ e$](img37.png)
であろうが,その他なんでも指数関数が直線で表せる.
ようするに方対数グラフの傾き
が,指数関数
となるのである.
両対数グラフは,片対数方眼紙と同じように考えることができ,データ
![$ (x,y)$](img40.png)
は,グラフ
上の
に変換される.
先ほどと同様にグラフ上で直線となる関数を考えることにする.値
がちょっとだけ変化した場合,グラフ上の点の動きは,
|
![$\displaystyle \mathrm{d}X=\frac{C_{1x}}{\log_e 10}\frac{\mathrm{d}x}{x}$](img45.png) |
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![$\displaystyle \mathrm{d}Y=\frac{C_{1y}}{\log_e 10}\frac{\mathrm{d}y}{y}$](img46.png) |
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(11) |
である.これから,グラフ上で,傾き
![$ \alpha$](img47.png)
を持つ直線は,
となる.両対数グラフでは,縦軸と横軸のスケールの比
![$ C_{1y}/C_{1x}$](img49.png)
は1にする.
グラフ上で,傾き
を持つ直線は,
となる.この微分方程式の解は,
![$\displaystyle y=kx^{\alpha}$](img52.png) |
(14) |
である.従って,両対数グラフにプロットして,それが直線であれば,
![$ x^\alpha$](img53.png)
の関数系であることが分かる.そして,グラフの傾きにより,
![$ \alpha$](img54.png)
を求めることあできる.
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年6月24日