すでに行列の固有値と固有ベクトルについては,学習しているはずであるが,忘れている
者も多いと思うので復習が必要であろう.ただし,ここでは取り扱いの面倒な行列,例えば複
数の同じ固有値(縮退)を持つような行列などは考えないものとする.
行列
の固有値を
,固有ベクトルを
とすると,それらには,次
の関係がある.
 |
(1) |
つまり,行列

はベクトルを変換するが,それが固有ベクトル

の場合,固
有値を乗じた変換しかしないのである.要するに,行列

には特別の方向

と大きさ

があるのである.
固有値は,式(1)を変形して,
 |
(2) |
から求める.もちろん,この式から

という解もあるが,これはつまらないので
興味の対象外である.それ以外の有用な解は,
 |
(3) |
の場合に生じる.このことは,クラメールの公式から推測がつくだろう.この方程式を特
性方程式という.

が

次の正方行列であれば,これは

次方程式になるので,

個
の解がある.ゆえに,

次の正方行列

は

個の固有値と固有ベクトルをもつ.
このようにして,何がうれしいか?.あとで分かるが,これは線形の連立微分方程式を解いたりするときに
大変役に立つ.
固有ベクトルを列ベクトルとして,

個並べる行列

を考える.即ち,
![$\displaystyle \boldsymbol{X}=[\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3,\cdots,\boldsymbol{x}_n ]$](img22.png) |
(4) |
である.そして,対角成分に固有値を並べた対角行列
![$\displaystyle \Lambda=\left[ \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}} \lambda_1 & & & & \...
...smash{\Huge$0$}}\quad} & & \ddots & \\ & & & & \lambda_n \\ \end{array} \right]$](img23.png) |
(5) |
を考える.
これらの行列から,
が直ちに分かる.従って,行列

は,固有ベクトルからなる行列を用いて
と対角化できる.この

を

の対角化行列と言い,これにより固有値が並
ぶ行列に対角化できる.
このように行列を変形して,なにがうれしいのか?.次に示すように,行列を何回も
乗算するときに計算がうんと楽になり,大変便利である.
2.3 行列の乗算
先ほどの式(
6)は,
 |
(8) |
のように書くことができる.次に行列を

回乗算することを,

と書くことにす
る.通常の指数計算の記号とおなじ.すると,
となる.ここで,

は対角行列なので,その計算は簡単で,
![$\displaystyle \Lambda^n=\left[ \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}} \lambda_1^n & & &...
...ash{\Huge$0$}}\quad} & & \ddots & \\ & & & & \lambda_n^n \\ \end{array} \right]$](img38.png) |
(10) |
となる.これことは,固有値と固有ベクトルを使ってベクトルを表現すると,その

乗は
簡単に計算できると言っている.
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成18年11月12日