4 電荷保存則と変位電流

今までの話は，静電磁場で時間的に何も変化しない場合を考えてきた．これからは，時間 的に電荷や電流が変する場合を考察する．電荷や電流が変化すると電磁場の変化するわけ で，その関係を調べることになる．とはいえ，最終的には先の発散や回転の微分方程式に， 時間の項を含めるのだけである．

4.1 電荷の保存則

電荷は自然に発生したり消滅することはない--というのが実験事実である．このことは， 電荷の総量は時間的に変化しないと言っている．電子と陽電子が衝突して，光になっても， 総量は変化していない．この反応の場合，+eと-eが反応して電荷ゼロの光子ができるので， 電荷が消滅したと思うかもしれない．しかしながら，反応前の電荷の総量はゼロで反応後 もゼロであり，やはり総量は変化していない．このように電荷が消滅するときには，同じ 電荷量で符号が反対のものも同時に消滅するのである．これは電荷の発生の時も同じであ る．

このようなことから，ある任意の体積中の電荷量が変化するためには，それはその体積を 囲んでいる壁を通して電荷の移動が起きなくてはならない．電荷の移動は電流そのもので ある．したがって，ある任意の体積中の電荷の総量の変化は，その壁を通しての電流の流 れの積分に等しくなる．このことから，単位時間あたりの電荷の総量の変化は，壁を通し て流れる電流の積分に等しくなる．いつものように，任意体積の外側に向かった法単位ベ クトルを $\boldsymbol{n}$とすると，これらの関係は

$$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\rho\mathrm{d}V=\int\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (19)

となる．この式の右辺にいつものようにガウスの定理を使うと，

$$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\rho\mathrm{d}V=\int\div{\boldsymbol{j}}\mathrm{d}V$$ (20)

が得られる．この積分が任意の領域で成り立つことと，電荷密度は場所と時間の関数であ ることを考えると，

$$- \if 11 \frac{\partial \rho}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \rho}{\partial t^{1}}\fi =\div{\boldsymbol{j}}$$ (21)

となる．これは電荷の保存則を微分方程式で表したものである．この微分方程式は， $\div{\boldsymbol{j}}+ \if 11 \frac{\partial \rho}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \rho}{\partial t^{1}}\fi =0$と書き，連続の式とも呼ばれる．

4.2 マクスウェルの変位電流

静電場を表す4つの式

$$\div{\boldsymbol{E}}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ (22)

$$\nabla\times \boldsymbol{E}=0$$ (23)

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$ (24)

$$\nabla\times \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{j}$$ (25)

から始めることにする．静電磁場の場合，これらの式はまったく矛盾なく成立している． 電磁場も電荷も電流もいつでも一定で，場所だけの関数であり，電場および磁場がそれぞ れ独立した場として存在している．電場 $\boldsymbol{E}$の源は電荷 $\boldsymbol{\rho}$である．磁場 $\boldsymbol{B}$の源は電流 $\boldsymbol{j}$である．この場合でも，先ほどの電荷の保存則は成り立つ必 要はあるが，時間微分の項はゼロとなるので，

$$\div{\boldsymbol{j}}=0$$ (26)

が成立すれば良い．これに関係するのは，式(25)だけで，矛盾なく 成り立っている．この式の両辺の発散を取ると，左辺は回転の発散で，これは恒等式でゼ ロとなる²．

これからは，電磁場と電流および電荷が時間的に変化する場合を考える．まずは，電荷の 保存則が成り立つ必要がある．もちろん，時間の変化をゼロとした場合には静電場の式を 満足しなくてはならない．それでは，式(25)の両辺の発散を取って みよう．この場合，左辺は恒等式でゼロで，右辺は

$$0=\div{\boldsymbol{j}}$$ (27)

となる．今は $\if 11 \frac{\partial \rho}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \rho}{\partial t^{1}}\fi \neq 0$なので，電荷の保存則を満足しない．そこで， 仮に式(25)の発散が

$$\div{\left(\nabla\times \boldsymbol{B}\right)}=\mu_0\left[\div{\b... ...ial \rho}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \rho}{\partial t^{1}}\fi \right]$$ (28)

と書き換えたとする．そうすると，この式は電荷の保存則を満足する．これでも良いが， さすがに式が複雑である．そこで，式(22)の助けをかりて，少し式を書き 換えることを考える．少しばかり変形すると

$$\div{\left(\nabla\times \boldsymbol{B}\right)} =\mu_0\left[\div{\boldsymbol{j}}+\varepsilon_0 \if 11 \frac{\part... ... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\div{\boldsymbol{E}})\right]$$

$$=\mu_0\div{\left(\boldsymbol{j}+\varepsilon_0 \if 11 \frac{\parti... ...partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi \right)}$$ (29)

となる． $\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}$と $\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}$を利用すると，これは，

$$\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$$ (30)

としても良いだろう．この式を導くとき式(22)も変動する電磁場 でも正しいとした--ことは良いのだろうか?．これまでの議論ではその良し悪しは分から ない．後での議論で矛盾がなく，さらに実験事実として正しいことを言わなくてはならな い．結論を言うとこれは正しい．後の議論でも矛盾はないし，実験事実にも反しない．

式(30)は良さそうであるが，式(22)もまた， 電荷保存則を満足する必要がある．そこで，この式の時間微分を考える．時間微分を取り， 左辺と右辺を入れ替えると

$$\if 11 \frac{\partial \rho}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \rho}{\partial t^{1}}\fi =\varepsilon_0 \if 11 \frac{\partial }{\partial t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi \left(\div{\boldsymbol{E}}\right)$$

$$= \if 11 \frac{\partial }{\partial t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi \left(\div{\boldsymbol{D}}\right)$$

$$=\div{\left( \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \right)}$$    式(30)を用いると

$$=\div{\left(\nabla\times \boldsymbol{H}-\boldsymbol{j}\right)}$$

$$=-\div{\boldsymbol{j}}$$ (31)

となる．これは，電荷保存則そのものである．従って，式(30)のよ うにすると，式(22)はそのままで電荷保存則を満足している．これ でめでたし，めでたしである．

式(30)の追加された項， $\if 11 \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$は変位電流あるい は電束電流と呼ばれ，天才マクスウェルが導入したのである．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志