2 グリーン関数

2.1 ポアソン方程式とグリーン関数

数学的にグリーン関数をきっちり説明するとなると，厳密な定義と論理，計算が求められ厄介そ うである．また，直感的にイメージがつかみにくくなる．ここでは，こんなもんであると いうようなええかげんな話をする．数学的なちゃんとした定義を知りたければ，各自勉強せよ．

図1のように，金属空洞の中に電荷が有る状況を考える．電荷は動か ないものとして，その中の静電ポテンシャルを求めよ--というのが問題である．当然こ れは，ポアソン方程式

$$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon}$$ (1)

を満足する．これを決められた境界条件--金属ではポテンシャルがゼロ--で計算すれば 良い．これは，今まで学習してきた通り．

つぎに，図2のような状況を考える．空洞中の場所 $\boldsymbol{r}^\prime$にデルタ関数のような電荷が有る場合である．この場合，ポアソン方程 式は

$$\nabla^2G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)=-\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)$$ (2)

となる．この $G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)$がグリーン関数である．このグリーン関数は， ポテンシャルを観測する位置 $\boldsymbol{r}$と電荷のある位置 $\boldsymbol{r}^\prime$の関数である．

このグリーン関数が分かると，元のポアソン方程式(1)の解は，

$$\phi(\boldsymbol{r})=\int_{V} G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)\frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}{\varepsilon} \mathrm{d}V^\prime$$ (3)

と書くことができる． $\boldsymbol{r}^\prime$について積分したため， $\mathrm{d}V^\prime$とプラ イムの記号がついている．なぜ，これが成り立つか?--疑問に思えるだろう．この結果を 元のポアソン方程式に代入してみる．

$$\nabla^2\phi =\nabla^2\int_{V} G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)\frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}{\varepsilon}\mathrm{d}V^\prime$$

$$\nabla \boldsymbol{r} \mathrm{d}V^\prime \boldsymbol{r}\prime$$

$$=\frac{1}{\varepsilon}\int_{V} \nabla^2 G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)\rho(\boldsymbol{r}^\prime)\mathrm{d}V^\prime$$

$$=-\frac{1}{\varepsilon}\int_{V}\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) \rho(\boldsymbol{r}^\prime)\mathrm{d}V^\prime$$

$$=-\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon}$$ (4)

式(3)は，ポアソン方程式の解になっているのである．

これの何がうれしいの?--と言う疑問があるだろう．これは，境界のみで決まる方程式 (2)の解 $G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)$が分かれば，内部にどの ように電荷が分布 $\rho(\boldsymbol{r})$しようとも，積分を行うだけで，内部のポテンシャルが 分かると言っているのである．あとで分かるがかなり便利である．

そもそもこのようなことが，言えるのはラプラス演算子が線形演算子になっているからで ある．式(4)までで，線形演算子といことを使っている．ど こだろうか?--捜してみよ．

図 1: ポアソン方程式の状況

図 2: グリーン関数の状況

2.2 もう少し一般的に

2.2.0.1 イメージ

なにも，グリーン関数はポアソン方程式に限らない．もう少しまともに，グリーン関数を 定義しよう．線形演算子 $\mathcal{L}$を作用した微分方程式

$$\mathcal{L}\Psi(x)=-f(x)$$ (5)

を考える．$\Psi(x)$が求めたい方程式で，$f(x)$は既知の関数である．$f(x)$の前にマ イナス符号がついている理由は，電磁気学で現れる方程式にあわせているためである．ポ アソン方程式も，つぎに学習するソースの有る波動方程式もマイナス符号がついている． ただし，一般的にはプラスでもさしつかいない．この微分方程式の解は，

$$\Psi(x)=\int G(x,x^\prime)f(x^\prime)\mathrm{d}x^\prime$$ (6)

と書ける．このように解を書いたときに $G(x,x^\prime)$がグリーン関数である．このグ リーン関数を求めるためにはどうすればよいだろうか?．そのためには，解の式の両辺に 線形演算子 $\mathcal{L}$を作用させる．左辺は，

$$\mathcal{L}\Psi(x)=-f(x)$$ (7)

となる．右辺は，

$$\mathcal{L}\int G(x,x^\prime)f(x^\prime)\mathrm{d}x^\prime= \int \mathcal{L}\left[G(x,x^\prime)\right]f(x^\prime)\mathrm{d}x^\prime$$ (8)

である．式(7)と式(8)の右 辺は，もともと式(6)の両辺から導いたものなので，等しい． すなわち，

$$-f(x)=\int \mathcal{L}\left[G(x,x^\prime)\right]f(x^\prime)\mathrm{d}x^\prime$$ (9)

である．これから，

$$\mathcal{L}G(x,x^\prime)=-\delta(x-x^\prime)$$ (10)

でなくてはならないことが分かる．これがグリーン関数を求めるときの微分方程式である． この微分方程式が成り立てば，式(6)は式 (5)の解となっている．

2.2.0.2 グリーン関数の検査

ある関数がグリーン関数になっているか否か?--調べたい．もちろん，微分方程式 (10)を満足していれば良い．左辺は微分なので計算でき る．したがって，最初の条件は $x\neq x^\prime$以外では，

$$\mathcal{L}G(x,x^\prime)=0 \quad x\neq x^\prime$$ (11)

となればよい．残りは， $x=x^\prime$のときである．この場合， $\delta(x-x^\prime)$ は無限大になってしまい，取扱いができない．そこで，式 (10)を積分した

$$\int\mathcal{L}G(x,x^\prime)\mathrm{d}x= \begin{cases}0 & x=x^\prime\,\text{を含まない場合}\\ -1 & x=x^\prime\,\text{を含む場合} \end{cases}$$ (12)

が第二の条件となる．

本当は式(6)で定義されたグリーン関数が一意に決まることを 示さなくてはならないが，それは数学の教科書に任せる．それよりも，諸君はグリーン関 数の大まかな意味を知り，使いこなすことが重要である．

2.3 グリーン関数の例

いろいろな場面でグリーン関数は使われる．先に示したポアソン方程式を解くときのグリー ン関数は，

$$\nabla^2G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)=-\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) \Rightarrow G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)=\frac{1}{4\pi\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}$$ (13)

である．他にもいろいろあるが，書いている時間が無い．自分で調べてみよ．
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著者: 山本昌志