5 ベクトルの別の表現

5.1 成分を用いた表現

これまでの話で，ベクトルは矢で表されることが分かった．矢で表すと直感的に分かり易 いが，計算には不向きである．そこで，別の表現を考えることにする．図 8のようにその矢の始まりをカーテシアン ²座標系の原点におい て，先端の座標で表すことができる．そうすると，位置ベクトル $\boldsymbol{r}$の場合，

$$\boldsymbol{r}_1=(x_1,y_1,z_1)$$ (21)

のような表現が可能であろう．この， $x_1,\,y_2,\,z_3$をベクトル $\boldsymbol{r}$の成分，あ るいは射影と言う．我々は3次元(相対論では4次元)の世界に住んでいるので，物理学で取 り扱うベクトル量は3つの成分からなる．

図 8: カーテシアン座標系をつかったベクトルの表現

このようにすると，ベクトルの表現は全く便利になる．今までの矢を用いた方法だと，ベ クトル量の計算が大変やっかいである．計算するとなると数値で表すことになるが，長さ と角度みたいな量で表すことになる．2つのベクトル量をそれぞれ長さと角度の数値

$$\boldsymbol{A}=(r_A, \theta_A)$$ (22)

$$\boldsymbol{B}=(r_B, \theta_B)$$ (23)

で表現したとする³．これを加算することを考えると，かなり面倒 である．

$$\boldsymbol{C} =\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$$

$$=( , )$$ (24)

一方，座長を用いた表現だと

$$\boldsymbol{C} =\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$$

$$=(A_x, A_y, A_z)+(B_x,B_y,B_z)$$ (25)

$$=(A_x+B_x, A_y+B_y, A_z+B_z)$$ (26)

のように簡単に演算ができる．成分同士を加算すれば良いのである．これは，まったくもっ て便利である!!!!．

ここで，先ほどのカーテシアン座標の各軸に沿った単位ベクトルを導入すると，便利な場 合がある．図9のようにすると，

$$\boldsymbol{A} =(A_x, A_y, A_z)$$

$$=A_x\boldsymbol{i}+A_y\boldsymbol{j}+A_z\boldsymbol{k}$$ (27)

のように表現できる．ここで， $\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{j}$, $\boldsymbol{k}$が各軸に沿った単位ベクト ルである．

成分を使った表現では，ベクトルの大きさも簡単に計算でき，ピタゴラスの定理より

$$\vert\boldsymbol{A}\vert^2=A_x^2+A_y^2+A_z^2$$ (28)

となる．

図 9: 単位ベクトル

5.2 方向余弦について

後に，方向余弦と言う話も出てくるので，少し説明をしておく．図 8に示したように成分を使って，ベクトルは表現可能である． ベクトルの大きさを$r$として，各軸との角度をそれぞれ図10のよ うにすると，

$$r_x=r\cos\alpha r_y=r\cos\beta r_z=r\cos\gamma$$ (29)

の関係がある．ここで，$r$はベクトル $\boldsymbol{r}$の大きさを表す．これらの $r\cos\alpha,\,r\cos\beta,\,r\cos\gamma$を方向余弦と言う．

図 10: 方向余弦

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著者: 山本昌志