4 ベクトル場の発散と積分

4.1 発散とは

この場合は，2次元で考えるのはやっかいなので3次元で考えることにする．3次元の閉じ た空間内での熱の流れを考える．単位面積，単位時間あたりの熱の流れ [ $\mathrm{Jule/(m^2sec})$]はベクトル場である．これを $\boldsymbol{A}$で表すことにする．ここ では，この空間から出入りする熱量の総和を考える．この閉じた空間の表面の微少面積 $\mathrm{d} S$から出ていく熱量 $\mathrm{d}Q$は，

$$\mathrm{d}Q=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (15)

である．ここで， $\boldsymbol{n}$は図5この微少面積の法線方向の単位ベクト ルである．この熱の流れのベクトルと面積の内積を熱流束(一般にはフラックス)と言う． この式から，空間から出入りするトータルの熱量は，

$$Q=\int_V\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (16)

となる．

図 5: 熱の流出を考える空間とその表面

次に，先ほどの空間を図6のように$V_1$と$V_2$の2つの部分に分割した 場合を考える．この場合，閉じた空間からの熱量の出入りの総和は，それぞれの部分の熱 流速を足しあわせれば良い．すなわち

$$Q=\int_{V_1}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S+\int_{V_2}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (17)

である．先ほどの式(16)と同じになる理由は，以下のことから分かる．

• $V$と，$V_1$あるいは$V_2$の共通の表面の部分は変わらない．
• $V$と積分が異なるのは，図6の$S^\prime$の部分である．この 部分では，$V_1$と$V_2$での熱の流れのベクトルは同一である．しかし，積分を する場合の法線の方向が反対で， $\boldsymbol{n}_1=-\boldsymbol{n}_2$の関係がある．すると， この部分での積分は，$V_1$と$V_2$を足しあわせるとキャンセルされる．

先ほどは2つに分割したが，この分割方法は任意で2つ以上に分割しても良いことは明らか である．図7のようにに$N$個に分割した場合は，

$$Q=\sum_i \int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (18)

である．これを非常に大きな数で分割して，$V_i\to 0$の極限を考える．すると，

$$Q =\sum_i \int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=\sum_i\left[\cfrac{\int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V_i}\right]\Delta V_i$$

$$=\int_V\left[\lim_{\Delta V\to 0}\cfrac{\int_{\Delta V}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V}\right]\mathrm{d}V$$ (19)

である．ここで，

$$\div{\boldsymbol{A}}=\lim_{\Delta V\to 0}\cfrac{\int_{\Delta V}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V}$$ (20)

とする．先週示した $\div{\boldsymbol{A}}$という微分がいきなり現れているが，この右辺と等し いことは後で示す．式(20)の右辺が発散と呼ばれるスカラー量で，ベクトル場の 微分を表す．これが微分になっていることの感触は，式(1)から汲み取ってほしい．

この発散を用いると，トータルの熱量は，

$$Q=\int_V \div{\boldsymbol{A}}\mathrm{d}V$$ (21)

となる．式(16)と比べると，

$$\int_V\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V \div{\boldsymbol{A}}\mathrm{d}V$$ (22)

である．これをガウスの発散定理といい，熱にこだわらずどんなベクトル場についても成 り立つ．この定理は，「微分の体積積分は表面での面積分に置き換えることができる」と 言っている．式(2)のように，微分したものの積分の値は端--ここで は表面--で決まるのである．

ここで考えた熱流速の場合，発散 $\div{\boldsymbol{A}}$は単位体積あたりの熱の出入りを表している． これは，その微少体積で熱が発生量を表している．そのため，発散とは言わずにこの微分 を「湧き出し」と呼ぶ人もいる．

図 6: 2分割

図 7: 微小な区間に分割

4.2 カーテシアン座標系での発散

発散は式(20)で定義されるベクトル場の微分である．実際の微分につい て，カーテシアン座標系で考える．ベクトル場 $\boldsymbol{A}$があったとする．それは座標の関 数で， $\boldsymbol{A}(x,\,y,\,z)$と書けるであろう．図8に示したような微 少な空間でのそのフラックス$F$を考える．まずは， $\mathrm{xy}$平面である．これは，$z$ と $z+\Delta z$の面のフラックスを足しあわせれば良い．

$$F_z = F\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+\Delta z\right)+ F\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right)$$

$$= \boldsymbol{A}\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2}... ...a x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right)\cdot \boldsymbol{n}_0\Delta x\Delta y$$

$$\boldsymbol{n}_1=(0,0,1) \boldsymbol{n}_0=(0,0,-1)$$

$$= A_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+\Delta... ..._z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right) \Delta x\Delta y$$

$$=\left[ A_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+... ...x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right) \right]\Delta x \Delta y$$

$$(x,y,z)$$

$$=\left[\left( A_z+ \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial x} \else \... ...{1} A_z}{\partial y^{1}}\fi \frac{\Delta y}{2} \right) \right]\Delta x \Delta y$$

$$= \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z$$ (23)

$\mathrm{yz}$, $\mathrm{zx}$平面も同様にして，

$$F_x= \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial x} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial x^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z F_y= \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial y} \else \frac{\partial^{1} A_y}{\partial y^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z$$ (24)

となる．

これから発散は，

$$\div\boldsymbol{A} =\lim_{V \to 0}\frac{\int \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{V}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{F_x+F_y+F_z}{\Delta x \Delta y \Delta z}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{\left( \if 11 \frac{\partial A_x}{\part... ...i \right)\Delta x \Delta y \Delta z} {\Delta x \Delta y \Delta z}\boldsymbol{A} =\lim_{V \to 0}\frac{\int \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{V}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{F_x+F_y+F_z}{\Delta x \Delta y \Delta z}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0}\frac{\left( \if 11 \frac{\partial A_x}{\part... ...e \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi \right)\Delta x \Delta y \Delta z}$$

$$= \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial x} \else \frac{\partial^{1}... ...frac{\partial A_z}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi$$ (25)

となる．

これは，先週示した式と同じである．また，円柱座標系や極座標系については， 私のweb ページ ページを見よ．

図 8: 発散を考える座標系

4.3 発散を計る

数式がごちゃごちゃ並んだので，発散の意味がぼやけてきたと思う．熱の流れがある場で， その発散を計る機械を考えよう．図9のような機械で発散が計れる． 正方形の熱の流れを測定するセンサーを6つ組み合わせて，立方体内部でのねつの収支を 計る．熱の収支の合計を立方体の体積で割ることにより，立方体内部での平均の発散が分 かる．

図 9: 熱の発散を計る機械．熱流系で構成する立方体の実際のサイズは，小さいと する．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志