5 ベクトル場の回転と積分

5.1 回転とは

回転についても,発散と全く同じように議論を進める.回転のイメージを持つためには, 流体を考えるのが良いであろう.非圧縮性流体の速度場を考える.速度なのでこれは,ベ クトル場である.それが回転しているか否かを考えることにする.速度場のベクトルを $ \boldsymbol{A}$で表し,回転$ \Omega$

$\displaystyle \Omega=\oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$ (26)

と定義する.この積分は図10のように,ベクトル場を線積分する.ぐるっ と一周して,そこの値がゼロとなっていれば回転が無いというのは,直感的には理解でき る.閉じた紐を流れのある流体に入れて,それが回転するか否か--を言っているのでる.
図 10: 流体の速度場と回転を計算する経路
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/rot_1.eps}

この積分は,図11のように,2つに分割しても値は変わらない.

$\displaystyle \oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \oint_{C_...
...{d}\boldsymbol{\ell}+\oint_{C_2} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$ (27)

$ C$で積分するときの経路と$ C_1$$ C_2$で積分するときの経路で異なるのは,分割線の 部分である.ここでは,$ C_1$$ C_2$のベクトル場は同じで,積分の方向が反対である. それ故.足しあわせるとキャンセルされる.図12のように分割をもっともっと多くしても, 同じことが成り立つ.

$\displaystyle \Omega=\sum_i \oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$ (28)

発散の時と同様に,無限に多くの分割を行い,それぞれの積分経路の面積をゼロにした極 限を考える.すると,

$\displaystyle \Omega$ $\displaystyle =\sum_i \oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$    
  $\displaystyle =\sum_i \left[ \frac{\oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S_i}\right]\Delta S_i$    
  $\displaystyle =\int_S \left[\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}\right]\mathrm{d}S$ (29)

となる.

ここで,積分内の $ \lim_{\Delta S \to 0}\oint\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}/\Delta S$ を考える.これは,$ \Delta S$の向きに応じて値が異なることは,容易に分かる.流れの ある流体内部に小さい輪っかを入れた場合,その輪の向きにより,回転数は変わる.その ことから,この極限操作を伴う量はベクトルの成分であることが想像できる.ここでは, 時間の都合からベクトルであることの証明は行わないが,ベクトルになっている.その方向は, 経路を右ねじにする向きである.

従って,

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}= \lim_{\Delta S \to 0}\frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}$ (30)

と定義する量を考えることができる.ここで $ \boldsymbol{n}$は,この積分を行う領域の面の法線 方向の単位ベクトルで,積分領域の右ねじの向きとする.右辺はスカラー量なので, $ \nabla\times \boldsymbol{A}$は回転と呼ばれるベクトル量である.

先週示した $ \nabla\times \boldsymbol{A}$という微分がいきなり現れているが,この右辺と等し いことは後で示す.式(30)の右辺が回転と呼ばれるベクトル量で,ベクトル場の 微分を表す.これが微分になっていることの感触は,式(1)から汲み取ってほしい.

この回転を用いると

$\displaystyle \Omega=\int_S \nabla\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n} \mathrm{d}S$ (31)

となる.式(26)と比べると,

$\displaystyle \oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_S \nabla\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n} \mathrm{d}S$ (32)

である.これをストークスの定理という.これは,「回転と言われる微分の面積分は,そ の面の縁の線積分に等しいと言っている.式(2)のように,微分した ものの積分の値は端--ここでは縁--で決まるのである.

図 11: 2分割
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/rot_2.eps}
図 12: 微小な区間に分割
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/rot_3.eps}

5.2 カーテシアン座標系での回転

回転は,式(30)で定義されるベクトル場の微分である.これをカーテシ アン座標系で考える.ここに,ベクトル場 $ \boldsymbol{A}$があったとし,それが$ (x,y,z)$の関 数であったとする.これをある $ \mathrm{xy}$平面で見ると,図13のよ うになる.この面の微小領域の回転を考えよう.それは,

$\displaystyle \oint \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$ $\displaystyle = A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y,z\right)\Delta x +A_y\left(x+\Delta x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)\Delta y$    
  $\displaystyle \qquad\qquad -A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\Delta y,z\right)\Delta x -A_y\left(x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)\Delta y$    
  $\displaystyle =\left[ A_y\left(x+\Delta x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)- A_y\left(x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right) \right]\Delta y$    
  $\displaystyle \qquad\qquad -\left[ A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\Delta y,z\right)- A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y,z\right) \right]\Delta x$    
     $ (x,y,z)$の周りで,テイラー展開すると    
  $\displaystyle = \left[ \left( A_y+ \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else...
...\partial^{1} A_y}{\partial y^{1}}\fi \frac{\Delta y}{2} \right) \right]\Delta y$    
  $\displaystyle \qquad\qquad -\left[\left( A_x+ \if 11 \frac{\partial A_x}{\parti...
...{\partial^{1} A_x}{\partial x^{1}}\fi \frac{\Delta x}{2}\right) \right]\Delta x$    
  $\displaystyle =\left( \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else \frac{\parti...
...ial y} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\Delta x\Delta y$ (33)

となる.従って, $ \mathrm{z}$の回転は,式 (30)より,

$\displaystyle (\nabla\times A)_z$ $\displaystyle =\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta \to 0} \cfrac{\left( \if 11 \frac{\partial A_y}{\pa...
...artial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\Delta x\Delta y} {\Delta x \Delta y}$    
  $\displaystyle = \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else \frac{\partial^{1}...
...frac{\partial A_x}{\partial y} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi$ (34)

同様に, $ \mathrm{x}$ $ \mathrm{y}$方向の回転を求めると,

  $\displaystyle (\nabla\times A)_x= \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial y} \else ...
...frac{\partial A_y}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_y}{\partial z^{1}}\fi$   $\displaystyle (\nabla\times A)_y= \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial z} \else ...
...frac{\partial A_z}{\partial x} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial x^{1}}\fi$   (35)

となる.

これは,先週示した式と同じである.また,円柱座標系や極座標系については, 私のweb ページ を見よ.

図 13: 回転を考える座標系
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/rot_Z.eps}

5.3 回転を計る

数式がごちゃごちゃ並んだので,発散の意味がぼやけてきたと思う.流れのある場での回 転を計る機械を考える.図14のような機械で回転を計測することがで きる.単位時間あたりの回転数を,羽車の長さで割れば,回転計の軸の方向が回転 ( $ \nabla\times \boldsymbol{A}$)の成分となる.場の回転--ベクトル量--の方向と大きさを知りたければ, 回転系の軸を回して,最大の回転スピードになるところを捜す.
図 14: 回転を計る機械.羽車は小さいとする.
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/rot_meter.eps}

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年10月10日


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