5 ベクトル場の回転と積分

5.1 回転とは

回転についても，発散と全く同じように議論を進める．回転のイメージを持つためには， 流体を考えるのが良いであろう．非圧縮性流体の速度場を考える．速度なのでこれは，ベ クトル場である．それが回転しているか否かを考えることにする．速度場のベクトルを $\boldsymbol{A}$で表し，回転$\Omega$を

$$\Omega=\oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$ (26)

と定義する．この積分は図10のように，ベクトル場を線積分する．ぐるっ と一周して，そこの値がゼロとなっていれば回転が無いというのは，直感的には理解でき る．閉じた紐を流れのある流体に入れて，それが回転するか否か--を言っているのでる．

図 10: 流体の速度場と回転を計算する経路

この積分は，図11のように，2つに分割しても値は変わらない．

$$\oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \oint_{C_... ...{d}\boldsymbol{\ell}+\oint_{C_2} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$ (27)

$C$で積分するときの経路と$C_1$と$C_2$で積分するときの経路で異なるのは，分割線の 部分である．ここでは，$C_1$と$C_2$のベクトル場は同じで，積分の方向が反対である． それ故.足しあわせるとキャンセルされる．図12のように分割をもっともっと多くしても， 同じことが成り立つ．

$$\Omega=\sum_i \oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$ (28)

発散の時と同様に，無限に多くの分割を行い，それぞれの積分経路の面積をゼロにした極 限を考える．すると，

$$\Omega =\sum_i \oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$

$$=\sum_i \left[ \frac{\oint_{C_i} \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S_i}\right]\Delta S_i$$

$$=\int_S \left[\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}\right]\mathrm{d}S$$ (29)

となる．

ここで，積分内の $\lim_{\Delta S \to 0}\oint\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}/\Delta S$ を考える．これは，$\Delta S$の向きに応じて値が異なることは，容易に分かる．流れの ある流体内部に小さい輪っかを入れた場合，その輪の向きにより，回転数は変わる．その ことから，この極限操作を伴う量はベクトルの成分であることが想像できる．ここでは， 時間の都合からベクトルであることの証明は行わないが，ベクトルになっている．その方向は， 経路を右ねじにする向きである．

従って，

$$\nabla\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}= \lim_{\Delta S \to 0}\frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}$$ (30)

と定義する量を考えることができる．ここで $\boldsymbol{n}$は，この積分を行う領域の面の法線 方向の単位ベクトルで，積分領域の右ねじの向きとする．右辺はスカラー量なので， $\nabla\times \boldsymbol{A}$は回転と呼ばれるベクトル量である．

先週示した $\nabla\times \boldsymbol{A}$という微分がいきなり現れているが，この右辺と等し いことは後で示す．式(30)の右辺が回転と呼ばれるベクトル量で，ベクトル場の 微分を表す．これが微分になっていることの感触は，式(1)から汲み取ってほしい．

この回転を用いると

$$\Omega=\int_S \nabla\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n} \mathrm{d}S$$ (31)

となる．式(26)と比べると，

$$\oint_C \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_S \nabla\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n} \mathrm{d}S$$ (32)

である．これをストークスの定理という．これは，「回転と言われる微分の面積分は，そ の面の縁の線積分に等しいと言っている．式(2)のように，微分した ものの積分の値は端--ここでは縁--で決まるのである．

図 11: 2分割

図 12: 微小な区間に分割

5.2 カーテシアン座標系での回転

回転は，式(30)で定義されるベクトル場の微分である．これをカーテシ アン座標系で考える．ここに，ベクトル場 $\boldsymbol{A}$があったとし，それが$(x,y,z)$の関 数であったとする．これをある $\mathrm{xy}$平面で見ると，図13のよ うになる．この面の微小領域の回転を考えよう．それは，

$$\oint \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y,z\right)\Delta x +A_y\left(x+\Delta x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)\Delta y$$

$$\qquad\qquad -A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\Delta y,z\right)\Delta x -A_y\left(x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)\Delta y$$

$$=\left[ A_y\left(x+\Delta x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right)- A_y\left(x,y+\frac{\Delta y}{2},z\right) \right]\Delta y$$

$$\qquad\qquad -\left[ A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y+\Delta y,z\right)- A_x\left(x+\frac{\Delta x}{2},y,z\right) \right]\Delta x$$

$$(x,y,z)$$

$$= \left[ \left( A_y+ \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else... ...\partial^{1} A_y}{\partial y^{1}}\fi \frac{\Delta y}{2} \right) \right]\Delta y$$

$$\qquad\qquad -\left[\left( A_x+ \if 11 \frac{\partial A_x}{\parti... ...{\partial^{1} A_x}{\partial x^{1}}\fi \frac{\Delta x}{2}\right) \right]\Delta x$$

$$=\left( \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else \frac{\parti... ...ial y} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\Delta x\Delta y$$ (33)

となる．従って， $\mathrm{z}$の回転は，式 (30)より，

$$(\nabla\times A)_z =\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}}{\Delta S}$$

$$=\lim_{\Delta \to 0} \cfrac{\left( \if 11 \frac{\partial A_y}{\pa... ...artial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\Delta x\Delta y} {\Delta x \Delta y}$$

$$= \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial x} \else \frac{\partial^{1}... ...frac{\partial A_x}{\partial y} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi$$ (34)

同様に， $\mathrm{x}$や $\mathrm{y}$方向の回転を求めると，

$$(\nabla\times A)_x= \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial y} \else ... ...frac{\partial A_y}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_y}{\partial z^{1}}\fi (\nabla\times A)_y= \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial z} \else ... ...frac{\partial A_z}{\partial x} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial x^{1}}\fi$$ (35)

となる．

これは，先週示した式と同じである．また，円柱座標系や極座標系については， 私のweb ページ を見よ．

図 13: 回転を考える座標系

5.3 回転を計る

数式がごちゃごちゃ並んだので，発散の意味がぼやけてきたと思う．流れのある場での回 転を計る機械を考える．図14のような機械で回転を計測することがで きる．単位時間あたりの回転数を，羽車の長さで割れば，回転計の軸の方向が回転 ( $\nabla\times \boldsymbol{A}$)の成分となる．場の回転--ベクトル量--の方向と大きさを知りたければ， 回転系の軸を回して，最大の回転スピードになるところを捜す．

図 14: 回転を計る機械．羽車は小さいとする．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志