2 連立方程式

2.1 表現方法

言うまでも無く連立1次方程式(Linear Equations)は，次のような形をしている．

$$\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1N}x_N&=... ...a_{M1}x_1+a_{M2}x_2+a_{M3}x_3+\cdots+a_{MN}x_N&=b_M \end{aligned}$$

ここでは，$M=N$の場合を考える．$M \ne N$のようなものは，ここでの講義のレベルを超 えるので，興味がある人は自分で学習すること．このような連立1次方程式を計算するこ とは，実際に工学の問題でしばしば現れる．例えば，偏微分方程式を離散化して解く場合 などである．その場合，方程式の次元数がかなり大きく，100万元くらいは普通である． 100万といっても，3次元問題だと， $100 \times 100 \times 100$程度であるので，まだ まだ精度は荒い．　　　　　　　　　　　

式(1)は行列とベクトルで書くと，式がすっきりして 考えやすくなる．書き直すと，

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$$ (2)

となるのは，以前学習したとおりである．それぞれの行列とベクトルは，

$$\begin{aligned}\boldsymbol{A}&= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} ... ...rix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots\\ b_N \end{bmatrix} \end{aligned}$$

を表す．行列は大文字の太文字(bold)スタイル，ベクトルは小文字の太文字スタイル，そ れぞれの成分は標準スタイルで表されることが多い．

ここで，解く問題は行列 $\boldsymbol{A}$が $N \times N$の正方行列で，その行列式がゼロでない ものとする．要するに，普通に解ける連立方程式である．ここで，解くべき問題は，既知 の $\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{b}$から，行列方程式(2)を満た す， $\boldsymbol{x}$を求めることになる．この行列方程式解く過程で， $\boldsymbol{A}$の逆行列や行列 式の値を求めることができる．逆行列や行列式は連立方程式と密接にかかわっているので ある．

通常，連立1次方程式(1)は

$$\begin{aligned}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots... ...rix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots\\ b_N \end{bmatrix} \end{aligned}$$

と書き表せる．このようにすると，見通しがかなり良くなる．皆さんも，今後連立方程式 を書くときは，行列とベクトルで書く方が良いであろう．ちょっとばかり格好良い．

行列やベクトルを使うと，格好良いばかりでなくコンピューターで扱いやすくなる．例え ば，行列 $\boldsymbol{A}$の要素$a_{ij}$はプログラム中では2次元配列a[i][j]として 扱える．同様にベクトル$b_k$は1次元配列b[k]として扱える．

2.2 計算方法

連立1次方程式は，クラメールの公式により，解のベクトル $\boldsymbol{x}$は四則演 算で計算できる．行列 $\boldsymbol{A}$が正則 $(\det A \neq 0)$ならば，解は

$$x_j =\frac{1}{\det A} \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdot... ... a_{N3} & \cdots & a_{1j-1} & b_{1j} & a_{1j+1} & \cdots & a_{NN} \end{vmatrix}$$ (5)

である．これは，2つの行列式を計算する必要があり，計算量が大変多くなる．したがっ て，$N \geq 4$の場合は推奨できない．

次に考えられるのは， $\boldsymbol{A}$の逆行列 $\boldsymbol{A}^{-1}$を用いて， $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}$から計算する方法である．この方法も，計算量と精度の面で 問題がある．$N$が大きい場合，逆行列の計算には多大な時間がかかるからである．

連立1次方程式の計算方法は大別して，2通りある．ここで学習する消去法と後で学習する 反復法である．どちらが良いかは，係数行列 $\boldsymbol{A}$の性質に依存する．一般に， $\boldsymbol{A}$が密なとき，すなわちほとんどの要素がゼロでないときは，消去法が有利である． 一方，ほとんどの要素がゼロで， $\boldsymbol{A}$が疎のとき，反復法が有利になる．工学の諸問 題--とくに偏微分方程式--の場合，ほとんどの要素がゼロとなることが多い．

ここでは消去法を学習するが，反復法について簡単に紹介しておく．まず，係数行列を $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}-\boldsymbol{C}$と変形します．すると，元の連立1次方程式は， $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$となる．これを解くために，漸化式 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{b}$とする．もし，初期値 $\boldsymbol{x}^{(0)}$が良ければ， $\boldsymbol{x}^{(\infty)}$は真の解 $\boldsymbol{x}$に収束する．もちろ ん， $\boldsymbol{B}$は容易に計算できる連立1次方程式になるように選ぶ．この選び方により， ヤコビの反復法やガウス・ザイデル法，SOR法などがある．これらの方法については消去 法を学習した後に，学習する．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志