2 行列の対角化と応用

2.1 固有値と固有ベクトル

すでに行列の固有値と固有ベクトルについては，学習しているはずであるが，忘れている 者も多いと思うので復習が必要であろう．ただし，ここでは取り扱いの面倒な行列，例えば複 数の同じ固有値(縮退)を持つような行列などは考えないものとする．

行列 $\boldsymbol{A}$の固有値を$\lambda$，固有ベクトルを $\boldsymbol{x}$とすると，それらには，次 の関係がある．

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$$ (1)

固有ベクトル $\boldsymbol{x}$の場合，行列 $\boldsymbol{A}$はその固ベクトルに固有値$\lambda$を乗じ た変換しかしないのである．方向が同じ．要するに，行列 $\boldsymbol{A}$には特別の方向 $\boldsymbol{x}$と大きさ$\lambda$があるのである．これは，通常の場合と著しく異なる．通常， 行列 $\boldsymbol{A}$はベクトルを方向が異なる他のベクトルに変換する．

固有値は，式(1)を変形して，

$$(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=0$$ (2)

から求める．もちろん，この式から $\boldsymbol{x}=0$という解もあるが，これはつまらないので 興味の対象外である．それ以外の有用な解は，

$$\det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})=0$$ (3)

の場合に生じる．このことは，クラメールの公式から推測がつくだろう．この方程式を特 性方程式という． $\boldsymbol{A}$が$n$次の正方行列であれば，これは$n$次方程式になるので，$n$個 の解がある．ゆえに，$n$次の正方行列 $\boldsymbol{A}$は$n$個の固有値と固有ベクトルをもつ．

このようにして，何がうれしいか? あとで分かるが，これは線形の連立微分方程式を解い たりするときに大変役に立つ．

2.2 行列の対角化

固有ベクトルを列ベクトルとして，$n$個並べる行列 $\boldsymbol{X}$を考える．即ち，

$$\boldsymbol{X}=[\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3,\cdots,\boldsymbol{x}_n ]$$ (4)

である．そして，対角成分に固有値を並べた対角行列

$$\Lambda=\left[ \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}} \lambda_1 & & & & \... ...smash{\Huge$0$}}\quad} & & \ddots & \\ & & & & \lambda_n \\ \end{array} \right]$$ (5)

を考える．

これらの行列から，

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}\Lambda$$ (6)

が直ちに分かる．従って，行列 $\boldsymbol{A}$は，固有ベクトルからなる行列を用いて

$$\boldsymbol{X}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\Lambda$$ (7)

と対角化できる．この $\boldsymbol{X}$を $\boldsymbol{A}$の対角化行列と言い，これにより固有値が並 ぶ行列に対角化できる．

このように行列を変形して，なにがうれしいのか? 次に示すように，行列を何回も 乗算するときに計算がうんと楽になり，大変便利である．

2.3 行列の乗算

先ほどの式(6)は，

$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{X}\Lambda\boldsymbol{X}^{-1}$$ (8)

のように書くことができる．次に行列を$n$回乗算することを， $\boldsymbol{A}^n$と書くことにす る．通常の指数計算の記号とおなじ．すると，

$$\boldsymbol{A}^n =\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}\cdots\boldsymbol{A}$$

$$=\boldsymbol{X}\Lambda\boldsymbol{X}^{-1}\boldsymbol{X}\Lambda\bo... ...bda\boldsymbol{X}^{-1}\cdots \boldsymbol{X}\Lambda\boldsymbol{X}^{-1} \nonumber$$

$$=\boldsymbol{X}\Lambda\Lambda\Lambda\cdots\Lambda\boldsymbol{X}^{-1}$$

$$=\boldsymbol{X}\Lambda^n\boldsymbol{X}^{-1}$$ (9)

となる．ここで，$\Lambda$は対角行列なので，その計算は簡単で，

$$\Lambda^n=\left[ \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}} \lambda_1^n & & &... ...ash{\Huge$0$}}\quad} & & \ddots & \\ & & & & \lambda_n^n \\ \end{array} \right]$$ (10)

となる．これは，固有値と固有ベクトルを使ってベクトルを表現すると，その$n$乗は 簡単に計算できると言っている．
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著者: 山本昌志