2 定常電流と保存則

2.1 電流とは

電磁場を統一したマクスウェルの方程式³が発表されたのは，1864年のことである．この式から，運動する電荷が 磁場を作ると予見されていたが，それを実験的に確認することは困難であった．1878年ア メリカの物理学者ローランドが，実験によりそれを確認した．ここで初めて，電荷の流れ により電流が生じることが確かめられた．

帯電した円盤を回転させて，それにより磁石が力を受けることを実験的に確認したのであ る．このときの磁場の測定精度は，地磁気の$10^{-5}$程度とのことである []．それにしても，130年くらいまえに，このような精度で実験がなされた ことに驚きである．この実験は，全てではないにしてもマクスウェルの方程式の正しさを 証明したと言えるだろう．その10年度，ヘルツの電磁波の確認により，その方程式は確固 たる地位を築いた．

電荷の流れが電流を作ることを諸君は既に知っているだろう．水の分子の流れが水流を作 るようにである．電流の場合，電荷は正負があり，正の電流の流れる方向を電流の方向と 定めている．実際の回路では，負の電荷を帯びた電子が電流を担う．従って，電子の流れ と電流の流れは逆になっている．水にたとえるならば，水の分子の流れと，水流の流れが 逆になっているようなものである．多少不便はあるが，歴史的な経緯で，そのようになっ てしまった．電子よりも先に電流が発見され，その方向が決められたことによる．

導線に流れる電流は，

• 断面を単位時間に通過する電荷量

と定義される．式で表すと，

$$I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$$ (1)

である．ここで，$I$は電流，$Q$は電荷量，$t$は時間を表す．この電流の単位として通 常はアンペア [A] が使われるが，これは[C/s]⁴と同等である．SI 単位系では，クーロン[C]よりもアンペアの方が基本単位として用いられるので，電荷量 を[A$\cdot$s]と書くこともある．

導線に流れる電流$I$は場の量としてふさわしくない．これは，導線の直径にわたっての トータルの性質を表しているからである⁵．そこで，場の量として電流密度⁶ $\boldsymbol{j}$を定義することにする．電流$I$は明らかにスカラー量で ある．これはある断面$S$を通り抜ける単位時間あたりの電荷量となる．ある微小断面積 $\mathrm{d}S$，その法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$，微小電流量 $\mathrm{d}I$とすると

$$\mathrm{d}I = \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (2)

となるであろう．なぜならば，図1に示すように，どんな$S$で もそこを通り抜ける電荷量は同一なので， $\cos\theta$がかかる．これは，丁度法線ベク トル $\boldsymbol{n}$と電流密度ベクトル $\boldsymbol{j}$とのスカラー積の計算になる．このようなこと から，式(2)が成立する．

このことから，ある断面$S$を貫く電流は，

$$I=\int_S \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (3)

と表すことができる．

図 1: 電流密度と電流

2.2 積分形の定常電流の保存則

ここでは，電流密度と電荷の関係を考える．そのため，風船のように体積をもつ閉じた系 を考える．この系の表面で先ほどの積分，式(3)を適用する．この積分 が正の場合，それはこの体積中に電流が注入されることになる．すると，電流は電荷の流 れなので，電荷が時間とともにどんどん貯まることになる．あるいは，電荷がその体積中 で消滅するかである．いままで，電荷の消滅は観測されていない⁷ので，後者は考えないものとする．従って， 先の式(3)が正の場合，その中に電荷が貯まることになる．一方，負の 場合はその逆で電荷が減るのである．ゼロの場合，正味の電荷量に変化は無いことになる．

電荷は途中で消滅したり増加したりしない．これを電荷の保存の法則と言う．

式(1)を考えている系の表面で積分すると，系から出て いく電流$I_S$が分かる．それは，

$$I_s=\int_S \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (4)

となる．この電流は，そこを通して出ていく時間あたりの電荷量$Q_o$に等しい．電荷保 存の法則から，出ていった分，系内部の電荷量$Q$が減少している．従って，

$$\Delta Q_o+\Delta Q =0$$ (5)

となる．このことから，

$$\int_S \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =\frac{\mathrm{d}Q_o}{\mathrm{d}t}$$

$$=-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$$ (6)

である．これは，外部に向かって電流が流れ出ると(左辺)，内部の電荷量が減少すると言っ ている．この式は電荷の保存の法則を，式で表したものである．電荷量$Q$が場の量でないので， 場の量である電荷密度$\rho$に置き換えると，

$$\int_S \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V\rho\mathrm{d}V$$ (7)

となる．これが式で書いた電荷保存の法則(積分形)である．

場の量である電流密度 $\boldsymbol{j}$も電荷密度$\rho$も，場所と時間 $(x,\,y,\,z,\,t)$の関 数である．時刻とともに，これらの場が変化しないとき定常状態と呼ぶ．従って，定常状 態では，

$$\int_S \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =0$$ (8)

となる．定常状態では，閉じた系のトータルの電流はゼロである．これは，内部で電荷量 の変動が無いことを示している．

図: $\int_S\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S \le 0$の場合．閉じた空間内の電荷量 は増加する．

図: $\int_S\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=0$の場合．閉じた空間内の電荷量は変 化しない．

図: $\int_S\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S \ge 0$の場合．閉じた空間内の電荷量 は減少する．

2.3 微分形の定常電流の保存則

諸君はガウスの発散定理をよく知っている．式 (7)の右辺をガウスの発散定理を用いて書き直し， 左辺は微分と積分の順序を交換する．そうすると，

$$\int_V \div\boldsymbol{j}\mathrm{d}V =-\int_V \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}V$$ (9)

となる．この式は，いつでもどのような$V$でも成立する必要がある．そのためには，

$$\div\boldsymbol{j} =-\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}$$ (10)

となる必要がある．これを，微分形の電荷保存の法則という．電流密度の発散は，電荷密 度の変化の割合に等しいと言っている．積分形に比べて，何を言っているかは分かりにく いが，理論的に話を進めるときには微分形の方が便利である．

この場合，定常状態は，

$$\div\boldsymbol{j} =0$$ (11)

と表せる．定常状態では電流の発散は無い．これも積分形に比べて，何のことか分かりに くい．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志