3 メッシュと時間の刻み

軸対称構造の解析なので，本来は2次元問題である．しかし，解くべきマクスウェルの方 程式(6)と(7)は3次元で表現されている． そこで，ここでは3次元の式から出発して，2次元に直すことにする．

解析の対象は図1に示すような軸対称構造物である．対称性を考慮す ると，rz平面の上半分のみを計算すればよい．解析の対象としている $\mathrm{TM}_{0n}$で は，上半分と下半分は同じ電磁場となるからである．このような単極モードではなくとも 多極モードでも，上半分が計算できれば下半分の計算ができるので，やはり半分のみを解 析の対象とすればよい．

rz平面での形状が長方形で形作られているが，これが最終的に計算するメッシュとなる． この長方形の面の中心に磁場$H_\theta$が，辺の中心に電場$E_r$と$E_z$がある．このよ うに長方形により離散化された電磁場を計算することになる．多くの長方形により計算す る領域が構成されることになるが，長方形の大きさは一様である必要はない．だが一般的 には計算を容易にするために，実際にはプログラムを容易にするために，一様な大きさの 正方形を用いる．

電磁場のみならず，FDTD法では時刻も離散化しなくてはならない．本間らの教科書  [1]に示しているように，電場と磁場を交互に計算するよ うに，時刻を計算する(図3)．長方形メッシュにより，電場と磁場を 計算する位置が交互になっているように，時間領域でも交互に計算するのである．計算す る時間間隔もまた一定にする必要はないが，一定間隔にする方が計算が容易である．

電場も磁場も位置$(z,r)$と時刻$(t)$の関数で，通常の表記だと式が長くなる．そこで， 簡潔に式を記述するために，参考文献  [1]と同様，以下 の表現を用いることにする．

$$E_z(z_{i+1},r_{j+3/2},t_{n+1/2})=E_{z\;i+1,j+3/2}^{\mspace{12mu}n+1/2}$$ (11)

$$E_r(z_{i+3/2},r_{j+1},t_{n+1/2})=E_{r\;i+3/2,j+1}^{\mspace{12mu}n+1/2}$$ (12)

$$H_{\theta}(z_{i+1},r_{j+1},t_{n+1})=H_{\theta\;i+1,j+1}^{\mspace{12mu}n+1}$$ (13)

図 1: FDTDのメッシュ．rz平面では，長方形メッシュとなる．

図 2: FDTD法で電磁場計算のメッシュ．

図 3: FDTD法で電磁場を計算するときの時刻の刻み方．

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著者: 山本昌志