2 Maxwellの方程式

2.1 解析対象

我々は，加速空洞内の電磁場の伝搬を計算している．内部は真空で，当面は電荷が無いものとして計算を進める．電荷がある場合については，次のステップで考えるつもりである．

さらに，取り扱うモードは $\mathrm{TM}_0$ モードとする．これは，加速器空洞で使われるもっとも一般的なモードである．ほとんどの加速空洞は軸対称構造なので，このモードを円柱座標系で解析することになる．一般的，電場は3個の成分 $(E_r,E_{\theta},E_z)$ ，磁場も3個の成分 $(H_r,H_{\theta},H_z)$ をもち，それぞれは位置 $(r,\theta,z)$ の関数である．しかし，ここでは $\mathrm{TM}_0$ モードが解析対象なので，

$\displaystyle E_{\theta}=0$

$\displaystyle H_r=0$

$\displaystyle H_z=0$

(1)

となる．さらに，残りの $E_r, E_z, H_{\theta}$ は，位置

の関数となり， $\theta$ に依存しない． $\theta$ 方向に一様なのである．

2.2 解くべき方程式

真空中で，電荷も電流もない場合のMaxwellの方程式は，

	$\displaystyle \div{\boldsymbol{E}}=0$	(2)
	$\displaystyle \div{\boldsymbol{H}}=0$	(3)
	$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}=-\mu_0 \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{H}}{\partial t^{1}}\fi$	(4)
	$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{H}=\varepsilon_0 \if 11 \frac{\partial \... ...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi$	(5)

である．ここで，解くべきものは，式(4)と (5)である．なぜ，最初の2つを無視してよいかはここでは述べない．時間があるときに述べることにする．

FDTD法で計算すべき式は積分形で表す方が良い．これら，微分形の式をストークスの定理を用いて，積分形に直すと

	$\displaystyle \oint{\boldsymbol{E}}\cdot\mathrm{d}\ell=-\mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S \boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$	(6)
	$\displaystyle \oint{\boldsymbol{H}}\cdot\mathrm{d}\ell=\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\int_S\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$	(7)