3 磁場が満たす偏微分方程式

3.1 ベクトルポテンシャル

まずは、電磁石の磁場が満たす方程式を示す。これは静磁場のマクスウェルの方程式で、 その時間の項をゼロとした式になる。それは、

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$ (1)

$$\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}$$ (2)

と書き表せる。ここで、 $\boldsymbol{B}$は磁束密度、 $\boldsymbol{H}$は磁場の強さ、 $\boldsymbol{j}$は電流密度を表 す。ただし、物質中では

$$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$$ (3)

の関係がある。ここで、$\mu$は透磁率である。これは、異方性の物質では2階のテンソル となる。しかし、ほとんど実用に使われている物質は、等方的である。そこで、ここでは、 等方的な物質のみを考えることにする。すると、それはスカラー量として取り扱うことが でき、計算が簡単になる。

ここで解析しようとする軸対称問題では、ベクトルポテンシャルを使う方が、後で示すよ うに、式が簡単になる。ベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$の定義は、

$$\boldsymbol{B}=\nabla\times \boldsymbol{A}$$ (4)

である。これと式(3)から、直ちに

$$\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu}\nabla\times \boldsymbol{A}$$ (5)

が分かる。この式の両辺に回転の演算を施し、式(2)を使うと

$$\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times \boldsymbol{A}\right)=\boldsymbol{j}$$ (6)

が得られる。これが、ベクトルポテンシャルが満たす偏微分方程式である。実際の磁場は、 このベクトルポテンシャルを計算して、微分(回転)することにより得られる。

3.2 汎関数

いろいろな教科書に書かれているように、式(6)の汎関数は

$$F[\boldsymbol{A}] =\int\left[\frac{1}{2\mu}\left(\nabla\times \boldsymbol{A}\right)^2 -\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{A}\right]dV$$ (7)

である。本当かどうか、この式の第一変分$\delta F$を計算し、それがゼロになる条件を 考えることにする。第一変分は、 $\boldsymbol{A}$を $\delta\boldsymbol{A}$変化させたときの微小変化量で

$$\delta F =F[\boldsymbol{A}+\delta\boldsymbol{A}]-F[\boldsymbol{A}]$$

$$=\int\left[\frac{1}{2\mu} \left\{\nabla\times\left(\boldsymbol{A}... ... -\boldsymbol{j}\cdot\left(\boldsymbol{A}+\delta\boldsymbol{A}\right) \right]dV$$

$$\qquad\qquad -\int\left[\frac{1}{2\mu} \left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)^2 -\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{A} \right]dV$$

$$=\int\left[\frac{1}{2\mu} \left\{\left(\nabla\times \boldsymbol{A... ... -\boldsymbol{j}\cdot\left(\boldsymbol{A}+\delta\boldsymbol{A}\right) \right]dV$$

$$\qquad\qquad -\int\left[\frac{1}{2\mu} \left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)^2 -\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{A} \right]dV$$    2次の微少量を無視すると

$$=\int\left[\frac{1}{\mu} \left(\nabla\times \boldsymbol{A}\right)... ...symbol{A}\right) -(\delta\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{j}) \right]dV \nonumber$$

$$\div{(\boldsymbol{V}\times\boldsymbol{W})}=\boldsymbol{W}\cdot(\nabla\times \boldsymbol{V})-\boldsymbol{V}\cdot(\nabla\times \boldsymbol{W})$$

$$\boldsymbol{V}=1/\mu(\nabla\times \boldsymbol{A}),\boldsymbol{W}=\delta\boldsymbol{A}$$

$$=\int\left[ -\nabla\cdot\left\{\frac{1}{\mu}(\nabla\times \boldsy... ...mes\boldsymbol{A})\right\} -(\delta\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{j}) \right]dV$$    この式の第1項に発散定理を使い、式を整理すると

$$=-\int\frac{1}{\mu}(\nabla\times \boldsymbol{A})\times\delta\bold... ...times\boldsymbol{A}) -\boldsymbol{j}\right\}\cdot\delta\boldsymbol{A} \right]dV$$ (8)

となる。

いつものように、任意の $\delta\boldsymbol{A}$に対して、この第一変分$\delta F$がゼ ロになる条件を考える。そのためには、式(8)の右辺の第1項と 第2項の被積分関数がともにゼロになる必要がある。まず、第1項であるが、それは

$$(\nabla\times \boldsymbol{A})\times\boldsymbol{n}=0$$ (9)

$$\delta\boldsymbol{A}=0$$ (10)

のいずれかである²。最初の条件はノイマン条件で、何も境界条件を指定しなければ、磁場 は境界と垂直になる。2番目のものは、境界でのベクトルポテンシャルを指定するディレ クレ条件である。即ち、第一変分の右辺第1項は境界条件を表すのである。

次に、第2項であるが、これは計算している領域で

$$\nabla\times\frac{1}{\mu}(\nabla\times\boldsymbol{A})-\boldsymbol{j}=0$$ (11)

となる必要がある。これは、ベクトルポテンシャルを用いた静磁場のマクスウェルの方程 式そのもので、式(6)と等しい。

以上のことから、静磁場を計算するためには、式(7)の 第一変分をゼロにすればよいことが分かる。静磁場のマクスウェルの方程式は、式 (7)の第1変分をゼロにするのと等しいのである。

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著者: 山本昌志