設定・実行

入力ファイル

メッシュ生成Triangle :: 設定・実行プログラムを設定とメッシュ分割まで

有限要素法に使うメッシュジェネレーター Triangle のインストールと使い方を説明します．

はじめに

有限要素法 (FIM: Finite Element Method) のプログラム作成で，最も面倒なのはメッシュ生成の部分です．以前は自分でメッシュ生成のプログラムも書いていましたが，しばらくプログラム作成に離れると，メッシュ生成のソースコードの修正が面倒になりました．そんな折，急ぎで有限要素法のプログラムの作成が必要となりました．「自作するかフリーのプログラム使うか?」選択に迫られました．時間は1日，フリーのプログラムを使うことに決定．

ネットで調べたところ，(1) NETGEN – automatic mesh generator，(2) Triangle (A Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator) が良さそうです．

インストール

Windows にもインストールできると思われますが，私はすぐにはできませんでした．以下は，Linux でのインストールと確認方法を示します．

ダウンロードとビルド

Triangle の WEB サイトから，「a.zip」をダウンロードします．ダウンロードされるファイルは，「triangle.zip」です．適当なディレクトリーに，ファイルを保存します．

ダウンロードしたファイルを解凍します．

$ unzip triangle.zip

すると，以下のファイルが現れます．

A.poly    makefile    triangle.c
README    showme.c    triangle.h    tricall.c

そして，ビルドします．
```
$ make
```
すると，以下の実行ファイルが出来上がります．
```
showme    triangle
```

実行の確認

ビルドが上手く行ったら，実行の確認をします．以下のコマンドで，サンプルファイル「A.poly」を入力として，メッシュを生成します．オプションの「p」で，直線の線を表すファイルを読み込みます．

$ ./triangle -p A

すると，「A.1.ele」と「A.1.poly」，「A.1.node」というファイルができます．

出来上がったメッシュを確認しましょう．以下のコマンドを実行します．

$ ./showme A.poly &

そして，ele をクリックします．すると，図1が現れます．あまり良いメッシュではないですね．そこで，メッシュの品質を向上させるオプションの「q」を追加します．

$ ./triangle -pq A

このコマンドが生成したメッシュは，先ほど同様「showme A.poly」で見ることができます．図2がその結果で，メッシュが改善されている様子がわかります．


図1: メッシュ「triangle -p」	図2: メッシュ「triangle -pq」

実行ファイルの移動

どこからでも，実行ファイルにアクセスできるように，実行ファイル (showme, triangle) を適当なディレクトリーにコピーします．私は，「~/bin/triangle」にこれらのファイルを保管しました．ディレクトリーや実行ファイルのパーミッションは「755」としました．実行権限が必要ということです．

そして，パスを設定します．設定の記述はいろいろなところで可能ですが，私は「.profile」に以下を記述しました．PCを再起動するとどこからでも，これらの実行ファイルにアクセスできます．

if [ -d "$HOME/bin" ] ; then
    PATH="$HOME/bin:$HOME/bin/triangle:$PATH"
fi

二次元のメッシュ生成

ポリゴンファイル (*.poly)

まずはメッシュ分割領域を決定するポリゴンファイル (sample.poly) を作成します．これは，ユーザーが作成する唯一のファイルです．ファイルの規約については，開発元の Triangle の .poly files に詳しく書かれています．といっても分かり難いです．

メッシュ分割

ポリゴンファイル (sample.poly) ができたら，メッシュ分割します．

まずは，ポリゴンファイルで指定したセグメントのポイント間を接続し，三角形のエレメントに分割します．

$ triangle -p sample

オプション「-p」は，ポリゴンファイルを読み込むという意味です．このオプションを指定しないと，ノードファイル (*.node) を読み込みます．最初は，ノードファイルがありませんので，このオプションをつけて，三角形分割します．このコマンドを実行すると，3つのファイル「sample.1.ele」と「sample.1.node」，「sample.1.poly」が出来上がります．

メッシュ分割の結果は，次のコマンドで確認することができます．

$ showme sample

ウィンドウ「Show Me」が現れますので，1番の「ele」をクリックすると三角形メッシュが現れます．セグメントを指定したポイントのみで三角形メッシュが出来上がっています．0番の「poly」をクリックすると，ポリゴン (セグメントの集合) を表示します．

この状態だと，かなり荒いメッシュなので精度の高い計算には向きません．そこで，メッシュをより細かく分割します．

簡単にメッシュを改良するために，オプション「q」を使います．

$ triangle -pq sample

これで，メッシュが改良 (refine) され，3つのファイル「sample.1.ele」と「sample.1.node」，「sample.1.poly」が修正されます．ちょっとだけメッシュが良くなります．

次にメッシュを良くするためには，オプション「a」を使います．以下のようにすると，エレメントの最大面積が 0.2 以下になります．

$ triangle -pq -a0.2 sample

有限要素法の計算に必要なファイル生成

デフォルトでメッシュ生成プログラム triange は，ノードファイル (*.n.node) とポリゴンファイル (*.n.poly)，エレメントファイル (*.n.ele) を生成します．しかし，有限要素法の計算を行うとき，これだけでは情報が不足します．三角形のエッジ (辺) と隣接エレメントの情報が必要です．これらの情報は，次節に示すエッジファイル (*.n.edge) と隣接エレメントファイル (*.n. neigh) に書かれます．コマンド「triangle」にオプションをつけることでファイルが出力されます．エッジファイルを出力するオプションは「-e」，隣接エレメントファイルでは「-n」です．

これまで示したオプションを使い，有限要素法の計算に必要なファイルを出力するコマンドは次のようになります．

$ triangle -pqen -a0.2 sample

最大面積は，メッシュを見て調整します．ポリゴンファイル (*.poly) にセグメントの面積を指定した場合のコマンドは，以下のとおりです．

$ triangle -pqena sample

作成されるファイル

元のポリゴンファイル (*.poly) を Triangle で処理すると，「*.n.拡張子」というファイルが出来上がります．「*」は元のポリゴンファイル名，「n」は整数でファイル作成順を表します．ファイルの種類に応じが拡張子が付きます．以下に，Triangle で作成される様々なファイルをしめします．

ファイル名種類説明

*.n.node ノードファイルの各行にはノード番号と座標，属性，境界マーカーが書かれています．

*.n.poly ポリゴンセグメントの境界を表します．境界は直線の集まりで，その直線の両端のノード番号で指定されます．合わせて，境界マーカーもファイルに書かれています．また，ホールを表すセグメントの座標も書かれています．

*.n.ele エレメント三角形のエレメントの集合を表します．ファイルの各行には，エレメント番号と３つのノード番号が書かれています．

*.n.edge エッジ (辺) 三角形の辺の集合を表します．各行には辺番号とノード番号 (辺の両端)，境界マークが書かれています．このファイルを出力するためには，triangle を実行するときに，オプション「-e」を加えます．

*.n.neigh 隣接エレメント三角形の隣接エレメントを示します．各行には，エレメント番号とその隣接エレメント番号が書かれています．隣接エレメント番号「-1」は，隣接エレメントが無いことをしめしています．このファイルを出力するためには，triangle を実行するときに，オプション「-n」を加えます．

コマンドラインのオプション