2 連立方程式の決定法

前章のように、連立方程式を一本づつ計算していくと、節点のまわりに どの要素があるか、という情報が必要になり、あまり効率的ではない。 ¹ ここでは、要素と節点の関係が分かっているとする。

2.1 要素ごとの項

式(14)の各項は、要素一つの寄与である。 ここで、式(14)から要素$(I)$の寄与だけを抜き出す。

$$\left. \frac{\partial J[u]}{\partial u_i} \right\vert _{(I)} = ... ...}}{\partial y}\right) \frac{\partial \phi_{(I)i}}{\partial y} \right\} s_{(I)}$$ (17)

この式での、節点 $(I1),(I2),(I3)$を本来の節点番号$i,j,k$と置き、 要素番号は$I$しか出てこないので、これは省略すると次のようになる。

$$\begin{split} \left. \frac{\partial J[u]}{\partial u_i} \rig... ... y} \frac{\partial \phi_i}{\partial y} \right) u_k \end{split}$$ (18)

これを参考に $\frac{\partial J[u]}{\partial u_j}$の 要素$I$の寄与分を考えると次のようになる。

$$\left. \frac{\partial J[u]}{\partial u_j} \right\vert _{(I)} = s... ...rac{\partial \phi_k}{\partial y} \frac{\partial \phi_j}{\partial y} \right) u_k$$ (19)

同様に $\frac{\partial J[u]}{\partial u_k}$の 要素$I$の寄与分を考えると次のようになる。

$$\left. \frac{\partial J[u]}{\partial u_k} \right\vert _{(I)} = s... ...} \right)^2 + \left( \frac{\partial \phi_k}{\partial y} \right)^2 \right) u_k$$ (20)

このように、一つの要素の方程式の寄与（式の中の項）をすべての要素について求め、 それをすべて足しあわせると解くべき連立方程式ができる。

2.2 係数行列の設定

式(18),(19),(20)の結果を係数行列に直す。

$\frac{\partial J[u]}{\partial u_i}$は、$i$行。その中の、 $u_i$を含む項は、$i$列になるので、

$$a_{ii}\vert _{(I)} = s \left( \left( \frac{\partial \phi_i}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \phi_i}{\partial y} \right)^2 \right)$$ (21)

となり、後は同様にして求められる。

$$a_{ii}\vert _{(I)} = s \left( \left( \frac{\partial \phi_i}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \phi_i}{\partial y} \right)^2 \right) a_{ij}\vert _{(I)} = s \left( \frac{\partial \phi_j}{\partial x} \frac{\partial \phi... ...+ \frac{\partial \phi_j}{\partial y} \frac{\partial \phi_i}{\partial y} \right) a_{ik}\vert _{(I)} = s \left( \frac{\partial \phi_k}{\partial x} \frac{\partial \phi... ...+ \frac{\partial \phi_k}{\partial y} \frac{\partial \phi_i}{\partial y} \right)$$

$$a_{ji}\vert _{(I)} = s \left( \frac{\partial \phi_i}{\partial x} \frac{\partial \phi... ...+ \frac{\partial \phi_j}{\partial y} \frac{\partial \phi_i}{\partial y} \right) a_{jj}\vert _{(I)} = s \left( \left( \frac{\partial \phi_j}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \phi_j}{\partial y} \right)^2 \right) a_{jk}\vert _{(I)} = s \left( \frac{\partial \phi_k}{\partial x} \frac{\partial \phi... ...+ \frac{\partial \phi_k}{\partial y} \frac{\partial \phi_j}{\partial y} \right)$$

$$a_{ki}\vert _{(I)} = s \left( \frac{\partial \phi_i}{\partial x} \frac{\partial \phi... ...+ \frac{\partial \phi_i}{\partial y} \frac{\partial \phi_k}{\partial y} \right) a_{kj}\vert _{(I)} = s \left( \frac{\partial \phi_j}{\partial x} \frac{\partial \phi... ...+ \frac{\partial \phi_j}{\partial y} \frac{\partial \phi_k}{\partial y} \right) a_{kk}\vert _{(I)} = s \left( \left( \frac{\partial \phi_k}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \phi_k}{\partial y} \right)^2 \right)$$

この中に入っている形状関数は、もちろん今考えている要素の中にある形状関数である。 $s$も今考えている要素の面積である。

このように、すべての要素の係数行列の寄与分を考えて、足しあわせると解くべき方程式の 係数行列ができる。このような方法で係数行列を決めていく方法は実際に プログラムを組む上で非常に楽である。

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著者: 夏井拓也