2 直線要素

2.1 座標変換

三角形１次要素の場合は一つの要素が持つ節点の数は３つだったが、三角形２次 要素では６つとなる。

２次要素の場合、まず１次要素と同じに頂点に節点を３つ持ち、そのほかに辺の 真ん中に３つ節点を持つ。つまり、図1のように節点を持ってい ることになる。 また、座標変換したときの三角形要素を図2に示す。

図 1: ２次要素の節点

図 2: 座標変換した２次要素の節点

この変換の式は以下のようになる。

$$x = (x_1-x_3)x' +(x_2-x_3)y' +x_3$$ (1)

$$y = (y_1-y_3)x' +(y_2-y_3)y' +y_3$$ (2)

この式より、$x',y'$は以下のようになる。

$$x' = \frac{(x-x_3)(y_2-y_3) -(y-y_3)(x_2-x_3)} {(x_1-x_3)(y_2-y_3) -(y_1-y_3)(x_2-x_3)}$$ (3)

$$y' = \frac{(x_1-x_3)(y-y_3) -(y_1-y_3)(x-x_3)} {(x_1-x_3)(y_2-y_3) -(y_1-y_3)(x_2-x_3)}$$ (4)

また、この座標変換のヤコビアン行列 $\boldsymbol{J}_1$ およびヤコビアン $\vert\boldsymbol{J}_1\vert$は以下のようになる。

$$= \begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial x'} & \frac{\partial ... ...{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1-x_3 & y_1-y_3 \ x_2-x_3 & y_2-y_3 \end{bmatrix}$$ (5)

$$\vert\boldsymbol{J}_1\vert = (x_1-x_3)(y_2-y_3)-(y_1-y_3)(x_2-x_3)$$ (6)

2.2 形状関数

２次要素の場合も１次要素と同じように形状関数は、ある節点の座標では１にな り、ほかの節点では０になるような関数を考える。このように考えると要素内部 は次の式のように表される。 ここで、求めるべき関数を$u(x,y)$とし、形状関数は$g_i(x,y)$としている。 $u_i$は節点$i$での$u$の値である。

$$u(x,y) = u_1 g_1 +u_2 g_2 +u_3 g_3 +u_4 g_4 +u_5 g_5 +u_6 g_6$$ (7)

ここで、$g_i$を具体的に決めなければならないが、これは２次関数で、節点$i$ では$g_i=1$、それ以外の節点では$g_i=0$となることを考えると簡単に決まる。 とくに座標変換した座標系で考えると楽である。 形状関数は以下のようになる。

$$g_1(x',y') = 2 x' \left( x'-\frac{1}{2} \right)$$ (8)

$$g_2(x',y') = 2 y' \left( y'-\frac{1}{2} \right)$$ (9)

$$g_3(x',y') = 2 (-x'-y'+1)\left( -x' -y' -\frac{1}{2} \right)$$ (10)

$$g_4(x',y') = 4 x'y'$$ (11)

$$g_5(x',y') = 4 y'(y'-x'+1)$$ (12)

$$g_6(x',y') = 4 x'(x'-y'+1)$$ (13)

また、形状関数の$x$偏微分、$y$偏微分を求めると、

$$\begin{bmatrix}\frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\... ...ix}\frac{\partial }{\partial x'} \\ \frac{\partial }{\partial y'} \end{bmatrix}$$ (14)

より

$$\frac{\partial }{\partial x} = \frac{\partial x'}{\partial x} \frac{\partial }{\partial x'} +\... ...c{\partial }{\partial x'} -\frac{y_1-y_3}{\Delta} \frac{\partial }{\partial y'}$$ (15)

$$\frac{\partial }{\partial y} = \frac{\partial x'}{\partial y} \frac{\partial }{\partial x'} +\... ...c{\partial }{\partial x'} +\frac{x_1-x_3}{\Delta} \frac{\partial }{\partial y'}$$ (16)

を考慮し、以下のようになる。

$$\frac{\partial g_1}{\partial x} = \frac{y_2-y_3}{\Delta} (4x'-1)$$ (17)

$$\frac{\partial g_1}{\partial y} = \frac{x_3-x_2}{\Delta} (4x'-1)$$ (18)

$$\frac{\partial g_2}{\partial x} = \frac{y_3-y_1}{\Delta} (4y'-1)$$ (19)

$$\frac{\partial g_2}{\partial y} = \frac{x_1-x_3}{\Delta} (4y'-1)$$ (20)

$$\frac{\partial g_3}{\partial x} = \frac{y_1-y_2}{\Delta} (-4x'-4y'+3)$$ (21)

$$\frac{\partial g_3}{\partial y} = \frac{x_2-x_1}{\Delta} (-4x'-4y'+3)$$ (22)

$$\frac{\partial g_4}{\partial x} = \frac{y_2-y_3}{\Delta} 4y' +\frac{y_3-y_1}{\Delta} 4x'$$ (23)

$$\frac{\partial g_4}{\partial y} = \frac{x_3-x_2}{\Delta} 4y' +\frac{x_1-x_3}{\Delta} 4x'$$ (24)

$$\frac{\partial g_5}{\partial x} = \frac{y_2-y_3}{\Delta}(-4y') +\frac{y_3-y_1}{\Delta}(-8y'-4x'+4)$$ (25)

$$\frac{\partial g_5}{\partial y} = \frac{x_3-x_2}{\Delta}(-4y') +\frac{x_1-x_3}{\Delta}(-8y'-4x'+4)$$ (26)

$$\frac{\partial g_6}{\partial x} = \frac{y_2-y_3}{\Delta}(-8x'-4y'+4) +\frac{y_3-y_1}{\Delta}(-4x')$$ (27)

$$\frac{\partial g_6}{\partial y} = \frac{x_3-x_2}{\Delta}(-8x'-4y'+4) +\frac{x_1-x_3}{\Delta}(-4x')$$ (28)

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著者: 夏井拓也