2 ラグランジュ補間

2.1 基本的な考え方

ある物理量を測定して$N+1$個の値が得られたとしよう。それらは、 $(x_0,y_0) ,(x_1,y_1), (x_2,y_2), \cdots, (x_N,y_N)$の2次元座標で 示すことができるでしょう。この全ての点を通る関数を求めることが補間法の 課題です。N次関数を使えばその目的が達成できると容易に分かります。すな わち、

$$y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_ix^i+\cdots+a_Nx^N$$ (1)

と補間するわけです。この係数$a_i$を求めれば、補間の関数が求められたこ とになります。この係数は、N+1元の連立1次方程式を解くことにより求めるこ とができます。

連立方程式の計算は時間がかかります。それに代わるもっと良い方法がありま す。ここではN次関数で表現できれば良いわけで、以下がそれになります。

$$\begin{aligned}y&=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_N)} {(x... ...{(x_N-x_0)(x_N-x_1)(x_N-x_2)\cdots(x_N-x_{N-1})}y_N \end{aligned}$$

この式(2)を見ると、

• 各項の分子は定数である。分母はN次関数です。このことから、全て の項はN次関数になっているので、この式はN次関数(N次多項式)です。
• $x$に $x_0,x_1,x_2,\cdots,x_N$を代入すると、$y$の値は $y_0,y_1,y_1,\cdots,x_N$になることが分かります。これは、データ点 $(x_0,y_0) ,(x_1,y_1), (x_2,y_2), \cdots, (x_N,y_N)$の全てを 通過していることを示してます。

となっている。これは、表現こそ違うものの式(1)と同 じです。これは、式(1)の$a_i$を求めて補間の関数を 求める必要は無く、式(2)を使 えばよいということです。この補間をラグランジュの補間多項式 (Lagrange's interpolating polynomial)と言います。式 (2)をもうちょっと格好良く書 けば、

$$\begin{aligned}L(x)&=\sum_{k=0}^{N}L_k(x)y_k &\qquad\text{た.. ..._k(x)=\prod_{j=0}^{N(j\neq k)}\frac{x-x_j}{x_k-x_j} \end{aligned}$$

となります。

2.2 問題点

補間の点数が増えてくると、ラグランジュの補間には問題が生じます。具体例を図に示します。これを見ると分かるように、補間の関数が振動しています。ラグランジュの補間では、補間の点数が増えてくると大きな振動が発生して、もはや補間とは言えなくなります。ラグランジュの補間には常にこの問題が付きまといますので、データ点数が多い場合は使えません。ほかの補間を考える必要があります。

図 4: ラグランジュ補間の問題点。 $y=\frac {1}{1+25x^2}$を10点で補間 (点線)したが、両端で振動する。

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著者: 山本昌志