4 クーロンの法則

4.1 クーロン力とその大きさ

電磁気学の最初の学習はクーロンの法則から始めることが多い．教科書に沿って，ここで もそれから始める．図1に示すように2つの電荷の 間に働く力の関係を表すのが発見者の名前を付けてクーロンの法則という．教科書では， それを

$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{R^2}$$ (4)

と書いている³．ここで，$F$は力(単位は[N])，$Q$と$q$力が作用する2つの電荷量(単位は [C])，$R$は電荷間の距離(単位は[m])である．そして， $4\pi\varepsilon_0$は比例定数 で，$4\pi$がつくのは後で式を簡単にするためである． $\varepsilon_0$は，真空中の誘 電率で $8.85418782$[F/m]である．力の方向は，電荷の積が負の場合引力，正の場合斥力 となる．

この力と重力の大きさを比べてみよう．2つの電子間に働く力の比は

$$\frac{F_e}{F_g} =\frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{R^2}}{G\frac{m_e^2}{R^2}}$$

$$=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0G}\left(\frac{e}{m_e}\right)^2$$

$$=\frac{1}{4\times 3.1415 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.67 \times 10^{-11}} \left(\frac{1.60 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}\right)^2$$

$$=4.1 \times 10^{42}$$ (5)

となり，電気的なクーロン力の方が$10^{42}$倍も大きいのである．このことについて， ファインマンは，次のように述べている [1]．

全ての物質は正の陽子と負の電子電子との混合体で，この強い力で引き合い反発しあっ ている．しかしバランスは非常に完全に保たれているので，あなたが他の人の近くに立っ ても力を感じることは全くない．ほんのちょっとでもバランスの狂いがあれば，すぐに 分かるはずである．人体の中の電子が陽子より1パーセント多いとすると，あ なたがある人から腕の長さのところに立つとき，信じられない位強い力で反発するはず である．どの位の強さだろう．エンパイア・ステート・ビルを持ち上げるくらいだろう か．エベレストを持ち上げるくらいだろうか．それどころではない．反発力は地球全体 の重さを持ち上げるくらい強い．

この非常に強い力により，物質全体は中性になる．そうでないと，物質はバラバラになってし まう．また，物質を電子や原子のオーダーで見ると，電荷の偏りがあり，そこではこのクー ロン力が働く．この強い力により，原子が集合して，固い物質が形作られるのである．

そうなると，電子が原子核に落ち込んでしまうのではないか--という疑問が湧く．実際 にはそのようなことは起きていない．この現象は不確定性原理から説明がつく．仮りに， 電子が原子核に衝突するくらい狭いところに近づいたとする．そうなると，位置が正確に 分かるので，運動量の不確定性が増す．したがって，電子はとても大きな運動量を持つこ とになる．すると，遠心力が大きくなり，原子核から離れようとする．近づこうとすると 大きな運動量を持つことになり，遠心力が働き近づけなくなるのである．

大きなクーロン力により，原子核がバラバラにならないのか--という疑問も湧く．例え ばウラン235の原子核は，92個の陽子と143個の中性子からできている．その半径は，大体 $7\times 10^{-15}\mathrm{[m]}$である．この狭い中に，正の電荷をもつ92個の陽子が，クー ロン力に抗して押し込められているのである．クーロン力によりバラバラにならない理由 は，強い力が作用しているためである．この強い力により，原子核ができあがっている．

最初に述べたように，強い力の範囲は $10^{-15}\mathrm{[m]}$程度である．したがって， ウランより大きな原子核を作ることは難しくなる．そのため，ウランより大きな原子番号 をもつ元素は自然では，存在しない．

ほとんどの元素の原子核では，クーロン力よりも強い力の方が圧倒的に大きい．そのため， 原子核は極めて安定となる．一方，ウラン235の場合，両者の力の大きさの差は小さく， 強い力の方がちょっとだけ大きい．そのため，他の物質に比べるとウラン235の原子核は 不安定となる．ちょっと刺激を与えると，原子核はバラバラになってしまう．原子核に中 性子をぶつけることにより，刺激を与えることができる．ウラン235原子核に中性子をぶ つけるのが原子爆弾であり，原子力発電である．バラバラになった原子核は，クーロン力 により，とても高速に加速される．そのため，大きなエネルギー持ち，最終的には熱に変 わるのである．原子力といえども，そのエネルギーの源は電磁気力である．

図 1: クーロン力

4.2 ベクトルを使った表現

式(4)では，クーロンの法則をスカラー量で記述し ている．左辺の力は，ベクトル量のはずである．そうすると，右辺もベクトルにする必要 がある．式(4)を見直すと，それは力の大きさしか 述べてないことが分かる．クーロンの法則を正確に述べると，

• 2つの電荷の間に働く力の大きさは，電荷の積に比例し，距離の2乗に反比例する．
• 力の方向は，ふたつの電荷を結ぶ直線上にある．電荷の積が負の場合引力で，正 の場合斥力となる．

である．したがって，式(4)はクーロンの法則の半 分しか述べていないのである．この2つのことを，一度に表現するために，ベクトルを 使う方が適切である⁴．クーロンの法則は

$$\boldsymbol{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{\ver... ...boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\vert}$$ (6)

と書くべきであろう．ここで， $\boldsymbol{F}_{12}$は，電荷量$Q_1$の物体が電荷量$Q_2$の物 体に及ぼす力である．位置ベクトルのと力の関係は，図 2のとおりである．この式が言っていることは，「力の 大きさは距離の2乗に反比例し，電荷の積に比例する」と「力の方向は，ふたつの物 体の直線上を向いており，電荷の積が負のとき引力，正のとき斥力となる」である．

言葉で述べると複雑な現象が，ベクトルを用いると式 (6)のように簡単に書ける．ベクトル解析は，まことに 便利である．

クーロンの法則について，次のことについて考察してみよう．

• 世の中に電荷が2つしかないとする．この場合，それぞれの電荷の大きさ調べる手立てはあるか?．
• それでは，電荷が3つある場合はどうか?
• 電子の電荷は $e=-1.602892\times 10^{-19}$[C]である．電子の電荷がなぜ負になっているか，考えてみよう?
• クーロン力は，距離の-2乗に比例する．なぜ，-2という丁度の数字なのか?．これは必然か?．-2.0001では不都合なのか?
• クーロン力は，各々の電荷の積の1乗に比例する．なぜ，1という丁度の数字なのか?．これは必然か?．1.00001では不都合なのか?
• 式からクーロン力の方向は，2つの電荷の延長線上である．延長線上である必然はあるか?．他の方向を向くとどのような不都合があるか?

図 2: クーロン力．ベクトルを使った表現

4.3 作用・反作用の法則

自然界の力は，必ず作用・反作用の法則

• 物体Bが物体Aから力$F_{AB}$受けるとする．すると，物体Aも物体Bから力を受け， その力$F_{BA}$は$F_{AB}$と大きさは同じで反対方向を向いている．さらに，両 者の力はお互いに一直線上にある．

が成り立っている．これが成立しないと，エネルギー保存側--正確には運動量保存則と 角運動量保存則--が破れることになり，永久機関ができてしまう．

クーロンの法則も，この作用・反作用の法則が成り立っていることを示す．電荷量$Q_1$ の物体がが電荷量$Q_2$の物体に及ぼす力 $\boldsymbol{F}_{12}$は，式 (6)のとおりである．逆に，電荷量$Q_2$の物体がが電 荷量$Q_1$の物体に及ぼす力 $\boldsymbol{F}_{21}$はどうなっているだろうか?．$Q2$の物体につ いてもクーロンの法則が成り立つはずであるから，この力を求めるためには式 (6)の添え字の1と2を入れ替えればよい．

$$\boldsymbol{F}_{21}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_2Q_1}{\ver... ...boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}{\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert}$$ (7)

式(6)と式(7)を比べると，

$$\boldsymbol{F}_{21}=-\boldsymbol{F}_{12}$$ (8)

の関係があることが分かる．この式は，2つの電荷に働く力の大きさが等しく，向きが反 対であると言っている．そして，これらの力は一直線上にある．これは，作用・反作用の 法則と呼ばれるものである．クーロンの法則も作用・反作用の法則が成り立っている．

図 3: 作用・反作用の法則

4.4 おまけ

クーロンの法則の発見の歴史的経緯はおもしろい⁵．まず最初の登場人物は，ジョセフ・プリーストリーと，あのベン ジャミン・フランクリンである．プリーストリーは，フランクリンにに示唆されて実験を 行い，中空の物体を帯電させて，その内側では電気的な作用が無いことを発見した．重力 の場合との類推で，電気的な力が距離の逆2乗で伝わると実験結果の意味を考えた．これ と同じ原理で⁶，1772年にキャベンディッシュは巧妙な実験を行い，かな りの精度で逆2乗が成り立つことを発見した．変人キャベンディッシュは，その結果を公 表しなかった．そのため，最後にクーロンが登場することになる．クーロンは，1785年に ねじれ秤を使った実験により，力の逆2乗の法則を発見し発表した．そして，それ以降， クーロンの法則と呼ばれるようになった．

キャベンディッシュの実験は非常に巧妙で，クーロンのものよりも精度はかなり高かった ようである．その実験は，今で言うノーベル賞級の発見ではあるが，彼はそれを公表しな かった．その発見の価値も知っていたにも関わらずである．ということで，物理学者中の 変人ナンバーワンとしても良いだろう．

その後，キャベンディッシュは，ねじれ秤を使って，1789年に万有引力定数を測定してい る⁷．ここでは，クーロンのねじれ秤を使っている ことが，面白い．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志