3 静電ポテンシャルとポアッソン方程式

3.1 最も有用な静電場の計算方法

電場 $\boldsymbol{E}$は，発散を表す式(5)と回転を示す式 (6)の微分方程式を解けば計算できるが，大変である．一般 にベクトルの方程式を計算するのは簡単でない．一方，スカラー場$\phi$を計算し，その 勾配から電場を計算するのは比較的簡単である．電場だと $(E_x,\,E_y,\,E_z)$の3つの未 知数があるのに対して，ポテンシャルは$\phi$は未知数がひとつである．ポテンシャルか ら電場を導くためには微分--勾配の計算--が必要であるが，それでも圧倒的に労力が少 ない．

それでは，スカラー場が満たす方程式を考えよう．復習で示した式 (11)のように，スカラー場の勾配が電場， $\boldsymbol{E}=-\nabla\phi$となる．これは，静電場をあらわす式(6)，すなわち $\nabla\times \boldsymbol{E}=0$を自動的に満足する．勾配の回転はゼロというベクトル恒等式 の示すとおりである．従って，残りは式(5)， $\div{\boldsymbol{E}}=\rho/\varepsilon_0$である．これを，満足させるためには，

$$\nabla\cdot\left(-\nabla\phi\right)=\frac{\rho}{\varepsilon}$$ (14)

とすればよい．したがって，スカラーポテンシャルをあらわす微分方程式は

$$\nabla^2\phi(\boldsymbol{r})=-\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon}$$ (15)

となる．この式を「ポアソン方程式」と言う．また，領域に電荷がない場合は

$$\nabla^2\phi=0$$ (16)

となり，これを「ラプラス方程式」と言う．静電場の場合，一般的にはポア ソン方程式で，電荷が無い特別な場合「ラプラス方程式」となる．

ポアソン方程式(15)は，スカラーの方程式なので解きやすい． 解きやすいといっても，これを直接計算するのは，そんなに易しいことではない．

計算はそんなに簡単ではないが，既にこの方程式の解は分かっている．先週，示したとお り

$$\phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{V^\prime} ... ...{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime$$ (17)

が解である．これが，ポアソン方程式(15)の解である．無限遠を基 準($\phi=0$)としたときの任意の場所のポテンシャルを示す．この体積積分は，全宇宙に わたって行う必要がある．解は分かっているが，この解を使ってポテンシャルを計算する ことができるのは単純な問題に限られる．

それでは，微分方程式(15)をどうやって解くと言うのだ．式 17の問題点は，積分範囲が無限と言うことである．ブラウン 管の電子銃の電場を計算するために，全宇宙の電荷を計算することになる．原理的に正し いが，そんなのはナンセンス．そこで，実際には有限な領域のみを計算対象とする．そし て，その領域の端--境界--でのポテンシャルに条件を与える．境界条件を与えて，内部 でのみポアソン方程式を計算する．具体的な計算方法は，時間がないので述べないが，

• 鏡像法
• 直交関数による展開
• 等角写像を用いる方法．これ，複素関数論の講義で学習した??．この方法は結構 面白いし，役に立つ．
• 差分法．これについては，5年生の計算機応用の講義で示した．
• 境界要素法
• 有限要素法

というような方法がある．そのほか，いろいろな方法がある．

ポテンシャルが分かるとなにがうれしいか?．それは，ポテンシャルはそれだけでも電圧 という物理的な意味がある．それだけでもうれしいが，それを微分することにより電場も 求められるのである．ポテンシャルが分かると静電場の問題は解けたと言える．

3.2 電気双極子

この計算はちょっと退屈だが，ポテンシャルを使って計算することの利点がはっきりする ので，説明しておく．ポテンシャルから電場を計算する良い例である．

図3のように，電荷量の絶対値は等しいが符号が異なる2つの電 荷が近距離にあるようなものを電気双極子と言う．この電気双極子が作る電場を求めたい． このような場を求める場合，ポテンシャルが大いに役立つ．

図 3: 電気双極子

図3の$P$点でのポテンシャルを計算する．ただし， $\vert\boldsymbol{s}\vert\ll\vert\boldsymbol{r}\vert$とする²．式 (17)で示したように，各々の電荷が作るポテンシャルの和と なる．

$$\phi(\boldsymbol{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r_1}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r_2}$$

$$=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right]$$    余弦定理より

$$=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{r^2-\left(\frac{... ...eta}}-\frac{1}{\sqrt{r^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2-rs\cos(\pi-\theta)}}\right]$$

$$=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{s... ...a}}-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{s}{2r}\right)^2+\frac{s}{r}\cos\theta}}\right]$$ (18)

ここで，$r/s\ll 1$として，テーラー展開

$$f(1+\Delta x)\simeq f(1)+f^\prime(1)\Delta x+\frac{f^{\prime\prime}(1)}{2!}\Delta x^2+\cdots$$ (19)

を行う．これを使って，式18の$(s/r)$の一次の項まで，計算する． するとルートの部分のテイラー展開は

$$\frac{1}{\sqrt{1+\Delta x}}\simeq=1-\frac{1}{2}\Delta x$$ (20)

となる．これを利用すると，$(s/r)$の一次の項までの計算は，

$$\phi(\boldsymbol{r}) \simeq\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\left[\left(1+\frac{s}{2r}\cos\theta\right)-\left(1-\frac{s}{2r}\cos\theta\right)\right]$$

$$=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\frac{s}{r}\cos\theta$$ (21)

となる．ここで，双極子モーメント $\boldsymbol{p}$を

$$\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{s}$$ (22)

と定義する．すると，双極子が作るポテンシャルは，

$$\phi(\boldsymbol{r}) =\frac{qs\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2} =... ...epsilon_0r^3} =\frac{\boldsymbol{p}\cdot{\boldsymbol{r}}}{4\pi\varepsilon_0r^3}$$ (23)

と書きあらわせる．

ポテンシャルが求まった．残りの問題は，これを微分して電場に直すことである．

$$\boldsymbol{E} =-\nabla \phi$$

$$=-\nabla \frac{\boldsymbol{p}\cdot{\boldsymbol{r}}}{4\pi\varepsilon_0r^3}$$

$$=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[ \boldsymbol{p}\cdot{\boldsymb... ...\left(\frac{1}{r^3}\right)+ \frac{1}{r^3}\nabla (\boldsymbol{p}\cdot r) \right]$$

$$=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[ -3\boldsymbol{p}\cdot{\boldsymbol{r}}\frac{\boldsymbol{r}}{r^5}+ \frac{\boldsymbol{p}}{r^3} \right]$$

$$=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[ -\frac{\boldsymbol{p}}{r^3} +\frac{3\boldsymbol{r}\left(\boldsymbol{r}\cdot{\boldsymbol{p}}\right)}{r^5} \right]$$ (24)

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著者: 山本昌志