3 コンデンサーの静電容量の計算

反復法を用いて，連立方程式の解を数値計算する練習問題である．ここでは，コンデンサー の静電容量を求める．諸君は電気工学科の学生なので，ちょうど良い練習問題と考えてい る．ここでの計算アルゴリズムは，有限要素法と呼ばれる方法で，連立方程式の計算 が必要になる．後の授業では差分法を学習し，そこでも連立方程式が重要な役割を果たす．

3.1 コンデンサーの性質

コンデンサーの特徴を表すパラメーターにキャパシタンス(静電容量)があることは，十分 承知していると思う．これは，いろいろな方法で計算することができる．その中で，私が 好んで使う方法は，エネルギーから計算する方法である．これは，電場の状態がキャパシ タンスを決める--と言っており物理的意味が分かりやすい．空間に電場² $\boldsymbol{E}$が分布している場合，そのエネルギー $\boldsymbol{U}$は

$$U_s =\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}dV$$

$$=\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}^2dV$$ (13)

となる． $\frac{1}{2}\varepsilon\boldsymbol{E}^2$が静電場のエネルギー密度になっている．信 じられない!!，それならば次元解析をしてみよ．また，よく知られているように，コンデ ンサーの電圧$V$とキャパシタンス$C$，そこにたまっているエネルギーには，

$$U_c=\frac{1}{2}CV^2$$ (14)

の関係がある．コンデンサー内部では，それらは図1のような関係 になっている．これからも分かるように，コンデンサーの内部には式 (13)が示す静電場のエネルギーが蓄えられている．一方， 電気的には，式(14)が示すエネルギーが蓄えられてい る．これらのエネルギーは等しいので，

$$\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}^2dV=\frac{1}{2}CV^2$$ (15)

となる．この式の左辺の電場はいろいろな方法で計算でき，静電場のエネルギーを求める ことができる．一方，電圧$V$は予め与えられているので，左辺の値を使えば，静電容量 が計算できる．要するに，静電場$E$を求めることができれば，静電容量$C$が計算できる のである．

いままで，よく分からなかった静電容量というものは，コンデンサーに蓄えられるエネルギーを示す 指標と考えて良い．私は，この考え方が好きである．なにしろ，分かりやすい．

図 1: コンデンサーの様子

3.2 有限要素法

先に示したとおり，コンデンサー内部の電場が分かれば，そのキャパシタンスを求めるこ とができる．それは簡単だ!!;電圧$V$を電極間距離$L$で割れば，電場は$E=V/L$と求め られる--と言う人がいる．これは，コンデンサー内部で誘電率が一様な場合は正しい．そん な単純な問題は，いままでさんざん学習してきた．ここでは，もう少し難 しい，誘電率が変化する問題を解くことにする．

誘電率が，3次元($x,y,z$の関数)で変化すると計算が大変なので，1次元問題に限ること にする．2次元や3次元も考え方は同じであるが，計算は大変である．ここで，計算するコ ンデンサー内部は，図2のとおりとする．誘電率は，座標$x$の関数で， 変化するものとする．

図 2: コンデンサー内部

このような場合の電場はどうなるのであろうか?．一つの方法は，ポアッソン方程式 ³

$$\nabla^2(\varepsilon\phi)=0$$ (16)

を解くことにより求めることができる．ここで，$\phi$はポテンシャルで，電圧のことで ある．少し気取って書いているのである．この微分方程式を $\phi(0)=V_0$， $\phi(L)=V_1$の境界条件で解くことになる．そうすると必要なものが全て計算できるの で，静電容量を計算できる．しかし，今回は，別な方法で計算する．

ポアッソン方程式の代わりに，コンデンサー内部の電場は，そのエネルギーが最小になる ように分布するという原理を使う．当然，この場合でも，境界条件 $\phi(0)=V_0,\phi(L)=V_1$は課せられている．コンデンサーの内部のエネルギーは，1次元 なので，

$$U_s =\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dV$$

$$=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dx$$ (17)

と書ける．ここで，$S$はコンデンサーの電極の面積である．

このポテンシャル分布をコンピューターに計算させるために，コンデンサーの内部を細か く$N$等分に区切る．この様子を図3に示す．すると，エネルギーは

$$U_s =\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dx$$

$$=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \left(\frac{d\phi}{dx}\right)^2dx$$

$$=\frac{S}{2}\sum_{i=1}^{N}\frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}}{2} \left(\frac{\phi_i-\phi_{i-1}}{h}\right)^2h$$

$$=\frac{Sh}{2}\left[ \cdots+ \frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}... ...varepsilon_{i}}{2} \left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i}}{h}\right)^2 +\cdots \right]$$ (18)

となる．ここで，$h$は，$N$当分に区切ったひとつの間隔である．

図 3: 分割の様子

静電場のエネルギーが最小になるためには，微分がゼロになる必要がある．このエネルギー をポテンシャル$\phi_i$で微分すると

$$\if 11 \frac{\partial U_s}{\partial \phi_i} \else \frac{\partial^... ...2} \left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i}}{h}\right) \right]\qquad(i=1,2,3,\cdots,N-1)$$ (19)

となる．$U_s$が最小値になるためには， $\if 11 \frac{\partial U_s}{\partial \phi_i} \else \frac{\partial^{1} U_s}{\partial \phi_i^{1}} \fi =0$となる必要がある． また，コンデンサーの両端の電圧は固定されているので， $\phi_0=V_0$で $\phi_N=V_1$である． 従って，これらをまとめると

$$\left\{ \begin{aligned}&\phi_0=V_0\\ &-\left(\varepsilon_{i-1}+... ...ilon_{i+1}\right)\phi_{i+1}=0\\ &\phi_N=V_1 \end{aligned} \right.$$

となる．要するに，この連立1次方程式を計算すれば，任意の誘電率の場合のコンデンサー内部のポテ ンシャル(電圧)が得られる．ポテンシャルが分かれば，電場が分かり，そうすると内部の エネルギーが計算できる．従って，静電容量が求められるわけである．

ここで示した計算方法は有限要素法と呼ばれている．これは，式(16) のポアソン方程式⁴と呼ばれる微分方 程式の代わりに，式(13)の極値となる関数--ここではポテン シャル--を計算するものである⁵．

3.3 計算方法についてコメント

先に示したように，コンデンサー静電容量を求める本質的な計算はポテンシャル$\phi_i$(電圧)の 分布を求めることにある．それは連立方程式

$$\left\{ \begin{aligned}&\phi_0=V_0\\ &-\left(\varepsilon_{i-1}+... ...ilon_{i+1}\right)\phi_{i+1}=0\\ &\phi_N=V_1 \end{aligned} \right.$$

から求められる．$\phi_0$と$\phi_N$は境界条件なので，これは決まった値で計算する必 要はない．真ん中の式を，ガウス・ザイデル法の反復を計算するために

$$\phi_i=\frac{1}{\varepsilon_{i-1}+2\varepsilon_{i}+\varepsilon_{i... ...ht)\phi_{i-1}+ \left(\varepsilon_{i}+\varepsilon_{i+1}\right)\phi_{i+1} \right]$$ (22)

と変形を行う．あとは単純，これを反復計算すれば近似解が求められる．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志