グリーンの定理は,1変数の関数の部分積分の公式に似ている.部分積分は,関数の積の微分
![$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(fg\right)=f^\prime g+fg^\prime$](img89.png) |
(31) |
から導ける.両辺を積分し,順番を入れ替えると
![$\displaystyle \int f^\prime g \mathrm{d}x = fg-\int f g^\prime \mathrm{d}x$](img90.png) |
(32) |
となり,部分積分の公式が導かれた.
このように単純な方法で導かれる部分積分の公式は,本当に便利でいたるところに現れる.
このベクトル解析版が,次に述べるグリーンの定理である.
[グリーンの定理]
スカラー場
![$ f(x,y,z)$](img91.png)
と
![$ g(x,y,z)$](img92.png)
があるとする.この領域内の閉じた任意の部分を
![$ V$](img93.png)
とする.そして,この
![$ V$](img94.png)
の境界面を
![$ S$](img95.png)
とする.すると,以下が成り立つ.
これをグリーンの定理という
【証明】 1
ベクトル解析の恒等式
の両辺を体積積分する.左辺にはガウスの定理を用いると,
![$\displaystyle \int_S f\nabla g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =\int_V\left(\nabla f\cdot\nabla g+f\nabla^2g\right)\mathrm{d}V$](img100.png) |
(36) |
である.これで,式(33)が証明できた.
式(35)と,これの
と
を入れ替変えたの辺々を引き
算すると,
![$\displaystyle \nabla\cdot\left(f\nabla g-g\nabla f\right)=f\nabla^2g-g\nabla^2 f$](img103.png) |
(37) |
となる.同じように体積積分をしてガウスの定理を使うと,式(34)を得る
ことができる.
注意 1
グリーンの定理は,
![$\displaystyle \nabla f\cdot\boldsymbol{n}= \if 11 \frac{\partial f}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial n^{1}}\fi$](img104.png) |
(38) |
として,
と書かれる場合もある.
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年7月5日