4 ベクトル場の性質

4.1 ベクトル場を決めるもの

定理 4.1
任意の領域のベクトル場は，その内部で発散と回転を与え，そして領域の境 界での法線方向の成分を与えれば，一意に決まる．

【証明】 2   この定理は，発散と回転と境界条件を決めればベクトル場が決まると言っている．これは，次のようにして証明できる．発散 $\rho(x,y,z)$と回転 $\boldsymbol{j}(x,y,z)$とした場合

$$\div{\boldsymbol{V}_1}=\rho$$ (41)

$$\nabla\times \boldsymbol{V}_1=\boldsymbol{j}$$ (42)

とする．問題は，この発散 $\rho(x,y,z)$と回転 $\boldsymbol{j}(x,y,z)$を与えた場合，ベクトル場が一意に決まるかということである．

$\boldsymbol{V}_1$と同一の境界条件で式(41)と(42)を満たす他のベクトル場$\rm {V}_2$があるとする．ここで， $\boldsymbol{V}_1-\boldsymbol{V}_2$がゼロならば，ベクトル場は一意に決まると言える．これらの式を満たすベクトル場は無いと言えるからである．そこで，

$$\boldsymbol{W}=\boldsymbol{V}_1-\boldsymbol{V}_2$$ (43)

とおく．このベクトル場 $\boldsymbol{W}$発散は，

$$\div{\boldsymbol{W}} =\div{(\boldsymbol{V}_1-\boldsymbol{V}_2)}$$

$$=\div{\boldsymbol{V}_1}-\div{\boldsymbol{V}_2}$$

$$=0$$ (44)

である．すなわち，ベクトル場 $\boldsymbol{W}$は湧き出しが無い．また，ベクトル場 $\boldsymbol{W}$の回転は，

$$\nabla\times \boldsymbol{W} =\nabla\times (\boldsymbol{V}_1-\boldsymbol{V}_2)$$

$$=\nabla\times \boldsymbol{V}_1-\nabla\times \boldsymbol{V}_2$$

$$=0$$ (45)

となる．すなわち，ベクトル場 $\boldsymbol{W}$には回転が無い．ベクトル場 $\boldsymbol{W}$は回転がないので，

$$\boldsymbol{W}=-\nabla \phi$$ (46)

とスカラー場を用いて記述ができる．ベクトル場 $\boldsymbol{W}$には湧き出しが無い ( $\div{\boldsymbol{W}}=0$)ことから，

$$\nabla^2\phi=0$$ (47)

である．

これで準備が整った． $\boldsymbol{W}$が考えている空間$V$にわたってゼロであることを証明し たい．そのためには，

$$\int_V\boldsymbol{W}\cdot\boldsymbol{W}\mathrm{d}V=0$$ (48)

が言えればよい． $\boldsymbol{W}\cdot\boldsymbol{W}$はベクトル $\boldsymbol{W}$の大きさの2乗で必ずゼロ以上 である⁴．従って，その積分がゼロとなるた めには，いたるところで $\boldsymbol{W}\cdot\boldsymbol{W}$がゼロとならなくてはならない．従って， $\boldsymbol{W}$が積分区間で全てゼロの場合のみ，式(48)が成り立つ．

与えられた条件で式(48)の右辺を計算して，それがゼロにな ることを確認する．取り合えず，左辺に分かっている条件を入れて計算してみよう．

$$\int_V\boldsymbol{W}\cdot\boldsymbol{W}\mathrm{d}V =\int\left(-\nabla \phi \right)\cdot\left(-\nabla \phi \right)\mathrm{d}V$$

$$=\int\nabla \phi \cdot\nabla \phi \mathrm{d}V$$    グリーンの公式の(34)から

$$=\int_S\phi\nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S-\int_V\phi\nabla^2\phi\mathrm{d}V$$    式(46)と(47)から

$$=-\int_S\phi\boldsymbol{W}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=-\int_S\phi\left(\boldsymbol{V}_1-\boldsymbol{V}_2\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=-\int_S\phi\left(\boldsymbol{V}_1\cdot\boldsymbol{n}-\boldsymbol{V}_2\cdot\boldsymbol{n}\right)\mathrm{d}S$$

$$\boldsymbol{V}_1と\boldsymbol{V}_2$$

$$=0$$ (49)

となる．従って，定理が証明できた．

この定理のなにがうれしいかというと，ベクトル場を記述する微分方程式は，回転と発散 で良いと言うことを示していることである．いろいろな法則は微分方程式で記述しなくて はならないが，ベクトル場の場合は回転と発散の値を決めれば，ベクトル場が決まると言 うことである．境界条件は必要であることは言うまでもない．

4.2 ベクトル場の微分方程式について

4.2.1 ベクトル場の微分方程式の解

4.2.1.1 証明すべき内容

ベクトル場を表す微分方程式

$$\div{\boldsymbol{V}(\boldsymbol{r})}=\rho(\boldsymbol{r}) \nabla\times \boldsymbol{V}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (50)

が分かったのでその解を示す．ここで， $\boldsymbol{r}$は位置ベクトルを表す．先に示したように，これらの方程式と境界上でのベクトル $\boldsymbol{V}$の法線方向の値を決めれば，ベクトル $\boldsymbol{V}(r)$は一意に決まる．

結論から先に言うと，ベクトル $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{r})$は，

$$\boldsymbol{V}=-\nabla \phi +\nabla\times \boldsymbol{A}$$ (51)

となる．ここで， $\phi(\boldsymbol{r})$はスカラポテンシャル， $A(\boldsymbol{r})$はベクトルポテン シャルで次のようにして計算できる．計算するときの座標系は，図6 の通りである．積分の範囲は無限遠までである．

$$\phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime}\frac{\rho(\bo... ...l{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\mathrm{d}V^\prime \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime}\fra... ...l{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\mathrm{d}V^\prime$$ (52)

これが本当に成り立つか証明しなくてはならない．そのためには，式(50)が 表すベクトル場 $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{r})$と，式(51)と式(52)が つくるベクトル場 $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{r})$が等しいことをいえばよい．ベクトル場が等しいため には，前節の「ベクトル場を決めるもの」で述べたように，おのおののベクトル場の発散 と回転が等しいことを言えばよい．式(50)が表すベクトル場 $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{r})$の発散と回転は，それぞれ $\rho(\boldsymbol{r})$と $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$である． したがって，式(51)と式(52)がつくるベクトル場 $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{r})$が式(50)のベクトル場と等しくなるためには，

$$-\div\nabla \left (\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime}\frac{\rho(\bold... ...l{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\mathrm{d}V^\prime \right)=\rho(\boldsymbol{r})$$ (53)

$$\nabla\times \nabla\times \left (\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime}\f... ...symbol{r}^\prime\vert}\mathrm{d}V^\prime\right) =\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (54)

となる必要がある．なぜならば，回転の発散はゼロだし発散の回転もゼロで，ベク トル場は発散と回転を決めれば一意に決まるからである．したがって，これらの式を証明 することになる．[注意]これらの式の演算子$\nabla$は全て，プライムのつかない 座標に作用する．

図 6: 原点と積分の座標系

4.2.1.2 発散の式

まず最初の式(53)を証明する． $\nabla\cdot\nabla$は$\nabla^2$とスカ ラーラプラス演算子に書き換えてもよい．さらに，このラプラス演算子は座標系 $\boldsymbol{r}$ に作用し，積分は $\boldsymbol{r}^\prime$に作用する．したがって，積分と微分の順序を入れ換 えてもよい．式(53)の左辺は，

$$-\div\nabla \left (\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime}\frac{\rho(\bold... ...ime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\mathrm{d}V^\prime \right) = -\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime}\rho(\boldsymbol{r}^\prime)\nabl... ...ac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime$$    式(29)より

$$=\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime}\rho(\boldsymbol{r}^\prime)4\pi\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=\rho(\boldsymbol{r})$$ (55)

となる．これで，式(53)が証明できた．

4.2.1.3 回転の式

つぎに式(54)を証明する．この証明には，任意のベクトル場 $\boldsymbol{w}$に ついて成り立つ，ベクトル恒等式

$$\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{w}=\nabla \div{\boldsymbol{w}}-\nabla^2\boldsymbol{w}$$ (56)

をつかう．右辺の$\nabla^2$はベクトルラプラス演算子であることに注意が必要である． この恒等式を使うと，式(54)の左辺は，

$$\nabla\times \nabla\times \left (\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime} \... ...ime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime$$ (57)

となる．

はじめに，右辺第一項を計算する．$\nabla$演算子は $\boldsymbol{r}$のみに作用するので，

$$\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)}{\ve... ...cdot\nabla\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right)$$ (58)

となる．また，部分積分も必要⁵となるのでそれも示す．ベクトル場の微分から，

$$\nabla^\prime\cdot\left( \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \right) =\frac{\nabla^\prime\cdot\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)}{\... ...bla^\prime\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right)$$ (59)

が得られる．これらの式と式(30)を用いて 計算すると式(57)の右辺第一項に関して以下を得る．

$$\nabla\int_{V^\prime} \nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{j}(\bold... ...ime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime =\nabla\int_{V^\prime} \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)\cdot... ...ac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=-\nabla\int_{V^\prime} \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)\cdo... ...ac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=\nabla\int_{V^\prime} \frac{\nabla^\prime\cdot\boldsymbol{j}(\bo... ...me)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \right) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=\nabla\int_{V^\prime} \frac{\nabla^\prime\cdot\boldsymbol{j}(\bo... ...boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S^\prime$$ (60)

次に式(57)の右辺第二項を計算する．はじめにベクトルラプラス演 算子を丁寧に計算する．被積分関数は

$$\nabla^2\left(\frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) =\left( \if 12 \frac{\partial }{\partial x} \else \frac{\partial^... ...prime, z^\prime) \right\}}{\sqrt{(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2}}$$

$$=\left(j_x,\,j_y,\,j_z\right) \left( \if 12 \frac{\partial }{\par... ...z^{2}}\fi \right) \frac{1}{\sqrt{(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2}}$$

$$=\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)\nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right)$$ (61)

となる．これと，式(29)を使うと，この右辺第二項は

$$\int_{V^\prime} \nabla^2\left(\frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}... ...ime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime =\int_{V^\prime} \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)\nabla^2\le... ...ac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=\int_{V^\prime} \boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)\nabla^2\le... ...ymbol{r}^\prime)\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=-4\pi\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (62)

となる．

式(60)と式(62)より，式(57)は，

$$\nabla\times \nabla\times \left (\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime} \... ...ime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime\right) =\frac{1}{4\pi}\nabla\int_{V^\prime} \nabla\cdot\left(\frac{\bold... ...ime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=\frac{1}{4\pi}\nabla\int_{V^\prime} \frac{\nabla^\prime\cdot\bol... ...ime\vert} \cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S^\prime +\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (63)

となる．このうち，右辺第一項は式(50)の第二式より，直ちにゼロになるこ とが分かる．回転の発散は恒等的にゼロになるからである．右辺第二式は問題で， $\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$が$1/r$よりも早くゼロに近づけば，積分範囲を無限にとればゼロにな る．あるいは無限遠点で $\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$がゼロになれば，積分はゼロになる．電磁義気 学で現れる量はこの条件を満たす．要するに無限遠では何もない--ということである． 全宇宙の端は何もないと考える．こうしないと，式(52)の積分は発散し てしまう．このように少しだけ制限はあるものの，式(57)は，

$$\nabla\times \nabla\times \left (\frac{1}{4\pi} \int_{V^\prime} \... ...ime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime\right) =\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (64)

となり，式(54)が証明できた．

以上より，ベクトル場を表す微分方程式(50)の解は，式(51) と式(52)で表すことができる．諸君はベクトル場を表す微分方程式とそ の解を得たことになる．

4.2.2 ヘルムホルツの定理

先に示したように，任意のベクトル場は渦無し(irrotational)と管状 (solenoidal)⁶の和であらわすことができる．すなわち，次のように である．

$$\boldsymbol{V}=-\nabla \phi +\nabla\times \boldsymbol{A}$$ (65)

任意のベクトル場は，渦無しと管状のベクトル場から出来上がっている．言い替えると， ベクトル場は渦無しと管状の2種類がある．これをヘルムホルツの定理と言う．

渦無しと管状の意味を述べておいた方がよいだろう． $\nabla \phi$から作られるベクト ル場は渦無しである．これは

$$\nabla\times \nabla \phi = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}... ...hi}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} \phi}{\partial z^{1}}\fi \end{vmatrix}$$

$$= \left(\frac{\partial^2\phi}{\partial z\partial y}- \frac{\parti... ... y\partial x}- \frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)\boldsymbol{k}$$

$$=0$$ (66)

から，わかる．回転がゼロなので，渦無しである．一方，

$$\div{(\nabla\times A)} =\nabla\cdot \begin{vmatrix}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \bo... ... \else \frac{\partial^{1} }{\partial z^{1}}\fi \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$

$$= \if 11 \frac{\partial }{\partial x} \else \frac{\partial^{1} }{... ...rtial A_x}{\partial y} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)$$

$$=0$$ (67)

であるから， $\nabla\times \boldsymbol{B}$から作られるベクトルは管状である．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志