2 ディラックのデルタ関数

2.1 デルタ関数のイメージ

大きさの無い電荷や，作用している時間がゼロの衝撃力等を表したいことがある．このよ うな場合，ディラックのデルタ関数$\delta(x)$を使うと便利である．この関数は，$x=0$ のとき無限大の値となり，$x\neq 0$ならば値はゼロとなる．そして，積分を行うと1とな る関数²である(図 1)．すなわち，

$$\delta(x)=\left\{ \begin{aligned}&0& &x\neq0& \\ &\infty& &x=0& \end{aligned} \right.$$ (4)

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\mathrm{d}x=1$$ (5)

である．これを使うと，都合良く電荷密度を表すことができるが，それはこれからの講義 内容である．しかし，衝撃力を表すのにうってつけであることは理解できるであろう．

いろいろな$\delta(x)$関数が考えられる．その中でも，直感的にもっともわかり易いの は，図2のようなものである．この図の $\varepsilon\rightarrow 0$の極 限をデルタ関数とする．デルタ関数の定義である式(4)や (5)を満足していることが分かるだろう．

図 1: ディラックのデルタ関数

図 2: $\varepsilon\rightarrow 0$の極限がデルタ関数

2.2 さまざまな積分とデルタ関数の定義

このデルタ関数の重要な関係式を示しておこう．

2.2.1 さまざまな積分

2.2.1.1 積分1

まずは，

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)\mathrm{d}x=f(a)$$ (6)

である．これは，図2をデルタ関数として，次のようにして計算できる．

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)\mathrm{d}x =\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{a-\varepsilon/2}^{a+\varepsilon/2}\frac{f(x)}{\varepsilon}\mathrm{d}x$$

$$=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F(a+\varepsilon/2)-F(a-\varepsilon/2)}{\varepsilon}$$

$$=f(a)$$ (7)

2.2.1.2 積分2

先ほどの積分は直感的に理解できるであろう．それに対して，次はちょっと難しい．

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\mathrm{d}x=-f^\prime(a)$$ (8)

これは，次のように，部分積分を使って計算する．

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\mathrm{d}x =\Bigl[f(x)\delta(x)\Bigr]_{-\infty}^{\infty}- \int_{-\infty}^{\infty}f^\prime(x)\delta(x-a)\mathrm{d}x$$

$$=-f^\prime(a)$$ (9)

2.2.1.3 フーリェ変換

これは，計算するまでもなく．

$$f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{i\omega t}\mathrm{d}t =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$ (10)

となる．これは，非常に短いパルスのノイズは，広帯域の周波数成分があることを示して いる．短パルスのノイズは広帯域なので，フィルターで取り除くことは難しい．

2.2.1.4 三次元

一次元とほとんど同じで，三次元に拡張することができる．基本的な 性質は，

$$\delta(\boldsymbol{r})=\left\{ \begin{aligned}&0& &\boldsymbol{r}\neq0& \\ &\infty& &\boldsymbol{r}=0& \end{aligned} \right. \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\boldsymbol{r})\mathrm{d}V=1$$ (11)

である．同様に積分は，

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\boldsymbol{r})\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\mathrm{d}V=f(\boldsymbol{a})$$ (12)

となる．これらの振舞いは，一次元とほぼ同じなので，細かい説明はしない．

2.2.2 デルタ関数の定義

これまで，デルタ関数のいろいろな性質を見てきた．いったい，デルタ関数はどのように 定義すればよいのだろうか? これまででもっとも一般的な--デルタ関数の性質に関して 最も広い範囲をカバーする--式は，

$$\delta(\boldsymbol{r})=0 \boldsymbol{r}\neq0$$ (13)

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\boldsymbol{r})\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\mathrm{d}V=f(\boldsymbol{a})$$ (14)

である．式(4)や式(5)に代わり，これ をデルタ関数の定義³としよう．これが関数の定義としてふさわしいかどうか--という議 論もあるだろう．ちゃんとした定義は数学者に考えてもらえばよく，我々はこれで十分で ある．物理的な内容を便利に表すことができるからである．

2.3 ラプラス演算子との関係

2.3.1 特異点が原点の場合

つぎにラプラス演算子との関係を示す．後に重要となる公式で，電磁気学ではとくに有用 である．もっとも重要な公式は，

$$\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})$$ (15)

である．

これを証明するためには，ちょっと頑張らなくてはならない．まずは，左辺であるが，以 前の課題に出したように

$$\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) =\nabla\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right)$$

$$=\nabla\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)\nabla(r)$$

$$=\nabla\cdot\left(-\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)$$

$$=-\left(\nabla\frac{1}{r^3}\right)\cdot\boldsymbol{r}-\frac{1}{r^3}\nabla\cdot\boldsymbol{r}$$

$$=\left(\frac{3}{r^4}\right)\nabla r\cdot\boldsymbol{r}-\frac{3}{r^3}$$

$$=\left(\frac{3}{r^4}\right)\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right) \cdot(x,y, z)-\frac{3}{r^3}$$

$$=\frac{3}{r^3}-\frac{3}{r^3}$$

$$=0 r\neq 0$$ (16)

となる．これで，式(11)の原点( $\boldsymbol{r}\neq 0$)以外は証明でき た．原点は特異点となる．

原点 $(\boldsymbol{r}=0)$での値を計算するために，式(15)の左辺を体積 分する．図3のように，原点を含まない場合，

$$\int_V\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=0$$ (17)

となる．いまのところ，この結果には面白いところはない．値がゼロのところを積分して， ゼロが得られただけである．

図4のように積分領域に原点が含まれる場合，大事な結果が得ら れる．原点は特異点なので，そのまま積分はできない．そこで，原点を含まない領域で積 分をする．複素関数論でコーシーの積分公式を導くのとと同じ方法である．このようにすると，積分領域に 原点が含まれなくなり，積分の値はゼロとなる．そして，連結部を非常に小さくとり，体 体積分を面積分に直すガウスの定理を使うと，式(15)の左辺の体 積分は

$$\int_{V^\prime}\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}V =\int_S\nabla \left(\frac{1}{r}\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=\int_{S1}\nabla \left(\frac{1}{r}\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S+ \int_{S2}\nabla \left(\frac{1}{r}\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=\int_{V}\nabla^2{\left(\frac{1}{r}\right)}\mathrm{d}V -\int_{S2}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (18)

となる．ここで，$V^\prime$は原点を含まない領域に対して，$V$は原点を含む． $V^\prime$には原点が含まれないので，積分の値はゼロとなる．従って，

$$\int_{V}\nabla^2{\left(\frac{1}{r}\right)}\mathrm{d}V =\int_{S2}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (19)

となる．これで原点を含んだ領域$V$の積分の準備ができた．この右辺の領域を球形にす る．すると図から明らかに， $\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}$は$-r$となる．右辺は，表面積を乗じ るだけで

$$\int_{S2}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =-\int_{S2}\frac{1}{r^2}\mathrm{d}S$$

$$=-\frac{4\pi r^2}{r^2}$$

$$=-4\pi$$ (20)

となる．従って，

$$\int_{V}\nabla^2{\left(\frac{1}{r}\right)}\mathrm{d}V=-4\pi$$ (21)

となる．これと，式(16)とデルタ関数の定義から，

$$\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})$$ (22)

とかける．これで，式(15)が証明できた．これは，今後しばしばお 目にかかる式である．ただし，積分を行うときに重要な意味があることを忘れてはならな い．

ところで，式(21)は不思議な式である．被積分関数は原点を除 いてゼロである．原点の値は不定であるが，積分を行うとちゃんとした値になる．

図 3: 原点が積分領域に含まれない場合

図 4: 積分領域に原点が含まれる場合

2.3.2 特異点が任意の位置

2.3.2.1 ラプラス演算子が $\boldsymbol{r}$に作用する場合

次に被積分関数の特異点の位置を変えてみよう．先ほどは原点に特異点があったが，ここ では位置 $\boldsymbol{r}^\prime$に特異点を移動する．この場合，明らかに

$$\nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\right)=-4\pi\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)$$ (23)

となる．このとき， $\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert=\vert\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r}\vert$という関係も満 たす．絶対値--位置ベクトル $\boldsymbol{r}^\prime$と $\boldsymbol{r}$の距離--はどちらを基準にし ても変化がないからである．これより，

$$\nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\... ...)=\nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r}\vert}\right)$$ (24)

が得られる．

また，デルタ関数の性質より， $\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)=\delta(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r})$である．デルタ関数の 定義の式(13)に関する矛盾はない．次に式 (14)に関しては，実際に計算してみる．途中，変数変換 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r}$を使うと，

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\boldsymbol{r})\delta(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r})\mathrm{d}V =-\int_{\infty}^{-\infty}f(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{x})\delta(\boldsymbol{x})\mathrm{d}V_x$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}f(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{x})\delta(\boldsymbol{x})\mathrm{d}V_x$$

$$=f(\boldsymbol{r}^\prime)$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}f(\boldsymbol{r})\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)\mathrm{d}V$$ (25)

となる．これから， $\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)=\delta(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r})$がいえるの である．こんな面倒なことをしなくても，直感的に理解できるだろう．

ここでの結果をまとめると，次のようになる．

$$\nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\... ...ol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) =-4\pi\delta(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r})$$ (26)

2.3.2.2 ラプラス演算子が $\boldsymbol{r}^\prime$に作用する場合

次に， $\boldsymbol{r}^\prime$に作用するラプラス演算子

$$\nabla^\prime=\left( \if 11 \frac{\partial }{\partial x^\prime} \... ...\partial z^\prime} \else \frac{\partial^{1} }{\partial z^\prime^{1}}\fi \right)$$ (27)

を導入する．先ほどの結果から，明らかに

$$\nabla^{\prime 2}\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r... ...ol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) =-4\pi\delta(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r})$$ (28)

の関係がある．すべての変数を，プライムの付くものと付かないものを入れ替えただけで ある．

2.3.2.3 まとめ

これらの結果をまとめると，

$$\nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\... ...ol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) =-4\pi\delta(\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r})$$ (29)

となる．プライムが付くものと付かないものを入れ替えてよいのである．これは後々，か なり便利に使える．

この入れ替えができる演算は限られており，次のような場合は入れ替えができないことに 注意が必要だ．

$$\nabla\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\ve... ...a^{\prime}\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}^\prime-\boldsymbol{r}\vert}\right)$$ (30)

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著者: 山本昌志