4 クーロンの法則

4.1 クーロン力とその大きさ

電磁気学の最初の学習はクーロンの法則から始めることが多い．教科書に沿って，ここでもそれから始める．図1に示すように2つの電荷の間に働く力の関係を表すのが発見者の名前を付けてクーロンの法則という．教科書では，それを

$\displaystyle F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{R^2}$

(4)

と書いている³．ここで，

は力(単位は[N])，

と

力が作用する2つの電荷量(単位は [C])，

は電荷間の距離(単位は[m])である．そして， $4\pi\varepsilon_0$ は比例定数で， $4\pi$ がつくのは後で式を簡単にするためである． $\varepsilon_0$ は，真空中の誘電率で

[F/m]である．力の方向は，電荷の積が負の場合引力，正の場合斥力となる．

この力と重力の大きさを比べてみよう．2つの電子間に働く力の比は

$\displaystyle \frac{F_e}{F_g}$	$\displaystyle =\frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{R^2}}{G\frac{m_e^2}{R^2}}$
	$\displaystyle =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0G}\left(\frac{e}{m_e}\right)^2$
	$\displaystyle =\frac{1}{4\times 3.1415 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.67 \times 10^{-11}} \left(\frac{1.60 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}\right)^2$
	$\displaystyle =4.1 \times 10^{42}$	(5)

となり，電気的なクーロン力の方が $10^{42}$ 倍も大きいのである．このことについて，ファインマンは，次のように述べている [1]．

全ての物質は正の陽子と負の電子との混合体で，この強い力で引き合い反発しあっている．しかしバランスは非常に完全に保たれているので，あなたが他の人の近くに立っても力を感じることは全くない．ほんのちょっとでもバランスの狂いがあれば，すぐに分かるはずである．人体の中の電子が陽子より1パーセント多いとすると，あなたがある人から腕の長さのところに立つとき，信じられない位強い力で反発するはずである．どの位の強さだろう．エンパイア・ステート・ビルを持ち上げるくらいだろうか．エベレストを持ち上げるくらいだろうか．それどころではない．反発力は地球全体の重さを持ち上げるくらい強い．

この非常に強い力により，物質全体は中性になる．そうでないと，物質はバラバラになってしまう．また，物質を電子や原子のオーダーで見ると，電荷の偏りがあり，そこではこのクーロン力が働く．この強い力により，原子が集合して，固い物質が形作られるのである．

そうなると，電子が原子核に落ち込んでしまうのではないか--という疑問が湧く．実際にはそのようなことは起きていない．この現象は不確定性原理から説明がつく．仮りに，電子が原子核に衝突するくらい狭いところに近づいたとする．そうなると，位置が正確に分かるので，運動量の不確定性が増す．したがって，電子はとても大きな運動量を持つことになる．すると，遠心力が大きくなり，原子核から離れようとする．近づこうとすると大きな運動量を持つことになり，遠心力が働き近づけなくなるのである．

大きなクーロン力により，原子核がバラバラにならないのか--という疑問も湧く．例えばウラン235の原子核は，92個の陽子と143個の中性子からできている．その半径は，大体 $7\times 10^{-15}\mathrm{[m]}$ である．この狭い中に，正の電荷をもつ92個の陽子が，クーロン力に抗して押し込められているのである．クーロン力によりバラバラにならない理由は，強い力が作用しているためである．この強い力により，原子核ができあがっている．

最初に述べたように，強い力の範囲は $10^{-15}\mathrm{[m]}$ 程度である．したがって，ウランより大きな原子核を作ることは難しくなる．そのため，ウランより大きな原子番号をもつ元素は自然では，存在しない．

ほとんどの元素の原子核では，クーロン力よりも強い力の方が圧倒的に大きい．そのため，原子核は極めて安定となる．一方，ウラン235の場合，両者の力の大きさの差は小さく，強い力の方がちょっとだけ大きい．そのため，他の物質に比べるとウラン235の原子核は不安定となる．ちょっと刺激を与えると，原子核はバラバラになってしまう．原子核に中性子をぶつけることにより，刺激を与えることができる．ウラン235原子核に中性子をぶつけるのが原子爆弾であり，原子力発電である．バラバラになった原子核は，クーロン力により，とても高速に加速される．そのため，大きなエネルギー持ち，最終的には熱に変わるのである．原子力といえども，そのエネルギーの源は電磁気力である．

**図 1:** クーロン力
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Coulomb_low.eps}$

4.2 ベクトルを使った表現

式(4)では，クーロンの法則をスカラー量で記述している．左辺の力は，ベクトル量のはずである．そうすると，右辺もベクトルにする必要がある．式(4)を見直すと，それは力の大きさしか述べてないことが分かる．クーロンの法則を正確に述べると，

2つの電荷の間に働く力の大きさは，電荷の積に比例し，距離の2乗に反比例する．
力の方向は，ふたつの電荷を結ぶ直線上にある．電荷の積が負の場合引力で，正の場合斥力となる．

である．したがって，式(4)はクーロンの法則の半分しか述べていないのである．この2つのことを，一度に表現するために，ベクトルを使う方が適切である⁴．クーロンの法則は

$\displaystyle \boldsymbol{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{\ver... ...boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\vert}$

(6)

と書くべきであろう．ここで， $\boldsymbol{F}_{12}$ は，電荷量

の物体が電荷量

の物体に及ぼす力である．位置ベクトルのと力の関係は，図 2のとおりである．この式が言っていることは，「力の大きさは距離の2乗に反比例し，電荷の積に比例する」と「力の方向は，ふたつの物体の直線上を向いており，電荷の積が負のとき引力，正のとき斥力となる」である．

言葉で述べると複雑な現象が，ベクトルを用いると式 (6)のように簡単に書ける．ベクトル解析は，まことに便利である．

クーロンの法則について，次のことについて考察してみよう．

世の中に電荷が2つしかないとする．この場合，それぞれの電荷の大きさ調べる手立てはあるか?．
それでは，電荷が3つある場合はどうか?
電子の電荷は $e=-1.602892\times 10^{-19}$ [C]である．電子の電荷がなぜ負になっているか，考えてみよう?
クーロン力は，距離の-2乗に比例する．なぜ，-2という丁度の数字なのか?．これは必然か?．-2.0001では不都合なのか?
クーロン力は，各々の電荷の積の1乗に比例する．なぜ，1という丁度の数字なのか?．これは必然か?．1.00001では不都合なのか?
式からクーロン力の方向は，2つの電荷の延長線上である．延長線上である必然はあるか?．他の方向を向くとどのような不都合があるか?

**図 2:** クーロン力．ベクトルを使った表現
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Coulomb_low_vector.eps}$

4.3 作用・反作用の法則

自然界の力は，必ず作用・反作用の法則

物体Bが物体Aから力 $F_{AB}$ 受けるとする．すると，物体Aも物体Bから力を受け，その力 $F_{BA}$ は $F_{AB}$ と大きさは同じで反対方向を向いている．さらに，両者の力はお互いに一直線上にある．

が成り立っている．これが成立しないと，エネルギー保存側--正確には運動量保存則と角運動量保存則--が破れることになり，永久機関ができてしまう．

クーロンの法則も，この作用・反作用の法則が成り立っていることを示す．電荷量の物体がが電荷量の物体に及ぼす力 $\boldsymbol{F}_{12}$ は，式 (6)のとおりである．逆に，電荷量の物体がが電荷量の物体に及ぼす力 $\boldsymbol{F}_{21}$ はどうなっているだろうか?．の物体についてもクーロンの法則が成り立つはずであるから，この力を求めるためには式 (6)の添え字の1と2を入れ替えればよい．

$\displaystyle \boldsymbol{F}_{21}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_2Q_1}{\ver... ...boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}{\vert\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\vert}$

(7)

式(6)と式(7)を比べると，

$\displaystyle \boldsymbol{F}_{21}=-\boldsymbol{F}_{12}$

(8)

の関係があることが分かる．この式は，2つの電荷に働く力の大きさが等しく，向きが反対であると言っている．そして，これらの力は一直線上にある．これは，作用・反作用の法則と呼ばれるものである．クーロンの法則も作用・反作用の法則が成り立っている．

**図 3:** 作用・反作用の法則
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/action_reaction.eps}$

4.4 おまけ

クーロンの法則の発見の歴史的経緯はおもしろい⁵．まず最初の登場人物は，ジョセフ・プリーストリーと，あのベンジャミン・フランクリンである．プリーストリーは，フランクリンにに示唆されて実験を行い，中空の物体を帯電させて，その内側では電気的な作用が無いことを発見した．重力の場合との類推で，電気的な力が距離の逆2乗で伝わると実験結果の意味を考えた．これと同じ原理で⁶，1772年にキャベンディッシュは巧妙な実験を行い，かなりの精度で逆2乗が成り立つことを発見した．変人キャベンディッシュは，その結果を公表しなかった．そのため，最後にクーロンが登場することになる．クーロンは，1785年にねじれ秤を使った実験により，力の逆2乗の法則を発見し発表した．そして，それ以降，クーロンの法則と呼ばれるようになった．

キャベンディッシュの実験は非常に巧妙で，クーロンのものよりも精度はかなり高かったようである．その実験は，今で言うノーベル賞級の発見ではあるが，彼はそれを公表しなかった．その発見の価値も知っていたにも関わらずである．ということで，物理学者中の変人ナンバーワンとしても良いだろう．

その後，キャベンディッシュは，ねじれ秤を使って，1789年に万有引力定数を測定している⁷．ここでは，クーロンのねじれ秤を使っていることが，面白い．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年7月12日