Yamamoto's Laboratory
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研究内容 加速器 GPT 座標変換

GPT座標変換エレメントの座標変換

GPT のエレメントの座標変換について説明します．

目次

はじめに

GPT のエレメントは，それにとって都合の座標系で定義できます．ソレノイドであれば，その中心を原点にとり磁場を定義できます．実際にエレメントを配置する場合，回転と平行移動により任意の場所に配置できます．エレメントの座標系を Element Coordinate System (ECS)，機器を配置する座標系を World Coordinate System (WCS) と呼びます．

平行移動のベクトルを $\boldsymbol{o}$，回転の行列を $\boldsymbol{M}$ とすると，ECS と WCS の位置ベクトル $\boldsymbol{r}_{ECS}, \boldsymbol{r}_{WCS}$ の関係は，次のようになります．

\begin{align} \boldsymbol{r}_{WCS}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{r}_{ECS}+\boldsymbol{o} \end{align}

さらに付け加えると，電磁場のベクトルは次のように変換されます．

\begin{align} \boldsymbol{E}_{WCS}&=\boldsymbol{M}\boldsymbol{E}_{ECS}\\ \boldsymbol{B}_{WCS}&=\boldsymbol{M}\boldsymbol{B}_{ECS} \end{align}

座標を回転させたとき，ベクトルを変換させる行列は座標変換の行列と同じです．これは，ベクトルの定義そのものです．

この辺りについては，GPT の User Manual に書いてありますので，一度読んでください．

三次元座標の回転

ここでは，三次元座標の回転の行列 $\boldsymbol{M}$ を求めます．平行移動のベクトル $\boldsymbol{o}$ は簡単なので，いまさら説明する必要は無いでしょう．

いきなり三次元の回転を表す行列を求めるのは難しいので，二次元の回転の結果を利用します．

二次元座標の回転

三次元座標の回転といっても，実は簡単で，二次元座標の回転の組み合わせです．昔，学習したように図1に示す二次元座標の回転は，

\begin{align} \begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}

となります．二次元は以上で終わりです．

図1: 二次元の座標変換 (回転)

三次元座標の回転

三次元の座標の回転の表し方は，いろいろ有ります．ここでは，図2に示す方法を使います．この図が示す座標の回転は，

  1. $Z$ 軸周りに $\phi$ 回転させます．これにより $(x,\,y,\,z)\rightarrow(x^\prime,\,y^\prime,\,z^\prime)$と変換されます．
  2. $Y^\prime$ 軸周りに $\theta$ 回転させます．これにより $(x^\prime,\,y^\prime,\,z^\prime)\rightarrow(x^{\prime\prime},\,y^{\prime\prime},\,z^{\prime\prime})$ と変換されます．
  3. $X^{\prime\prime}$ 軸周りに $\psi$ 回転させます．これにより $(x^{\prime\prime},\,y^{\prime\prime}, z^{\prime\prime})\rightarrow(x^{\prime\prime\prime},\,y^{\prime\prime\prime}, z^{\prime\prime\prime})$ と変換されます．

の三つの部分に分けることができます．力学の Euler の角に似ていますが，少し異なります．ここまで書いて，Eular の角で考えたほうが良いかもと思ってきましたが，絵も書いたことだしこれで進めます．

それぞれの回転の行列を $\boldsymbol{M}_z, \boldsymbol{M}_y, \boldsymbol{M}_x$ とします．これらは，先ほどの二次元の座標回転から，次のように書き表せます．

\begin{align} \boldsymbol{M}_z &= \begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \boldsymbol{M}_y &= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix}\\ % \boldsymbol{M}_x &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\psi & \sin\psi \\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \end{align}

それぞれの変換行列が分かったので，$(x, y, z)\rightarrow(x^{\prime\prime\prime}, y^{\prime\prime\prime}, z^{\prime\prime\prime})$ はそれぞれの積になります．

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{M}&=\boldsymbol{M}_x\boldsymbol{M}_y\boldsymbol{M}_x\\ &= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\cos\psi\sin\phi+\cos\phi\sin\theta\sin\psi & \cos\phi\cos\psi+\sin\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\theta\sin\psi \\ \cos\phi\cos\psi\sin\theta+\sin\phi\sin\psi & \cos\psi\sin\theta\sin\phi-\cos\phi\sin\psi & \cos\theta\cos\psi \end{pmatrix} \end{aligned} \label{eq:rot_matirix_3D} \end{equation}

座標の変換行列も分かったので，後は GPT に適用するだけです．実際には，この変換行列の第一行と第二行が GPT の入力になります．後述する「具体例」の xx が一行一列，xy が一行二列，xz が一行三列，yx が二行一列，yy が二行二列，yz が二行三列です．

図2: 三次元の座標変換 (回転)

GPT の座標の回転

GPTの入力について

先ほど求めた三次元の座標の回転を使えば，エレメントを任意の角度に回転できます．GPT では，$3\times3$ の行列の9個の要素を入力するのではなく，式\eqref{eq:rot_matirix_3D}の $M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{21}, M_{22}, M_{23}$ をデータとして入力するようになっています．即ち,入力データは次のような形になっています．

エレメント名("wcs", $\Delta x,\,\Delta y,\,\Delta z,\, M_{11},\, M_{12},\, M_{13},\, M_{21},\, M_{22},\, M_{23},\, \cdots$)

オフセットはどうでも良いとして，続く6個の行列の要素で回転を表しています．ここで，式\eqref{eq:rot_matirix_3D}の各行は，直交した単位ベクトルになっていることが分かります．ということは，座標を回転させた場合，その行ベクトルが新しい座標のx方向とy方向，z方向の単位ベクトルになることを意味しています．要するに，それぞれの行ベクトルが新しい座標の各軸になるわけです．6個の行列の要素で，新しい座標のx軸とy軸を決めることができます．そして，z軸は

\begin{align} \hat{\boldsymbol{z}}=\hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{y}} \end{align}

から決めることができます．$\hat{\boldsymbol{x}}$ と $\hat{\boldsymbol{y}}$，$\hat{\boldsymbol{z}}$ は，それぞれの軸の単位ベクトルです．座標系が右手系と決められているので，ベクトル積で計算可能ということです．

要するに，新たな$x$軸になる座標を $(M_{11},\,M_{12},\,M_{13})$，新たなる$y$軸になる座標を $(M_{21},\,M_{22},\,M_{23})$ を入力データとすればよいわけです．

ここで，１つ疑問が湧くと思います．もし，入力データのベクトル $(M_{11},\,M_{12},\,M_{13})$ が $(M_{21},\,M_{22},\,M_{23})$ が単位ベクトルでなかったり，各々が直交していなかったりする場合どうなるか? という疑問です．この場合，x軸，y軸，z軸の順でシュミットの直交化を行うことになっています．この辺のことは，GPT の User Manual に書いてあります．

y 軸回転

加速器のエレメントは，y軸の回転が多いです．その回転角度を $\theta$ とします．また，x軸やz軸は回転させませんので先ほどの $\phi$ と $\psi$ はゼロとします．すると，回転の行列 $\boldsymbol{M}$ は，

\begin{align} \boldsymbol{M} &= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \end{align}

となります．この行列の要素 $M_{11},\,M_{12},\,M_{13},\,M_{21},\,M_{22},\,M_{23}$ が GPT の入力データになります．次節では，これらは (xx, xy, xz, yx, yy, yz) に対応します．

GPT の入力 (座標)

GPT のエレメントの座標の設定方法を示します．

基本

GPT のほとんどのエレメントの最初のパラメーターはエレメント座標 (ECS) です．この ECS は二つの部分で構成されます．

座標の名前 エレメントが配置されている座標です．通常は「wcs」です．カスタム座標の場合もあります．
オフセット $\boldsymbol{o}$ と回転 $\boldsymbol{M}$ 座標変換を表すベクトルや行列です．

表1に，こらの指定方法を示します．GPT では，三通りの入力が可能です．次節に具体例を示します．

GPT のエレメント座標の定義．"wcs" カスタム座標になることもある．
ECS の定義 オフセット $\boldsymbol{o}$ 回転 $\boldsymbol{M}$
"wcs", "I" (0, 0, 0) 単位行列
"wcs", "z", oz (0, 0, oz) 単位行列
”wcs”, ox, oy, oz, xx, xy, xz, yx, yy, yz (ox, oy, oz) 式

具体例

恒等変換 ("wcs", "I")

これは「"wcs", "I"」と記述するだけで，座標変換を行いません．エレメントが screen() の場合，この変換を使います．以下が具体例です．

screen("wcs", "I", 0, 1, 0.01);

この設定では座標変換は行われませんので，wcs の座標系で粒子情報が出力されます．

z オフセット変換 ("wcs", "z", oz)

エレメントを z 方向にオフセットさせるために使います．以下の例は，シングルターンのソレノイド (半径: 0.1 m，電流: 500 A) を wcs の z=0.55 m に設置した場合です．

solenoid("wcs", "z", 0.55, 0.1, 500);

フル変換 (”wcs”, ox, oy, oz, xx, xy, xz, yx, yy, yz)

エレメントの三次元オフセットと任意の回転が可能です．以下の例は，シングルターンのソレノイド (半径: 0.02 m，電流: 500 A) を y軸で 45 度回転させて，wcs 座標の x=0.1 m，y=0 m，z=0.5 m に設置します．

theta = 45.0/180*pi;
solenoid("wcs", 0.1, 0.0, 0.5,
                cos(theta), 0.0, -sin(theta),
                0.0, 1.0, 0.0,
                0.02, 500);

ページ作成情報

参考資料

  1. GPT のユーザーマニュアル

更新履歴

2021年09月04日 ページの新規作成

no counter

last update:2021/09/04 19:31:40