2 数値計算方法

次のような条件の静電場を計算する方法について検討を行う．

• 計算領域に真電荷は無い．

  $$\rho=0$$ (9)

  
  

• 誘電率は不連続に変化する．

このような条件のもと，差分法と有限要素法(変分法)，有限積分法の数値計算について簡 単にコメントする．

2.1 差分法

ここで計算する静電場の方程式は，式(1)とスカラーポテンシャルか ら，

$$\div{(\varepsilon\nabla \phi )}=0$$ (10)

導くことができる．これは2階の微分方程式になっており，差分の式はとなりの 要素を含めた計算になる．隣の要素まで含めるとなると，一つの式の中に誘電率が異なる 部分が生じる(図2)．この取り扱いは面倒である．

あるいは，それぞれの誘電体中でラプラス方程式

$$\nabla^2\phi=0$$ (11)

を計算してもスカラーポテンシャルを得ることもできる．しかし，実際この式を計算する こは，簡単ではない．二つの誘電体の境界条件が設定できないからである．

以上のことから，差分法はこのように誘電率が異なる静電場の計算には適さない．

図 2: 差分法のメッシュとノード．誘電率の異なる部分を横切るので，取り扱いが 困難二になる．

2.2 有限要素法

一つの要素で完結すると言うことから，変分法を基礎とする有限要素法の方が，このよう な問題に適する．変分法とラプラス方程式の関係は，付録Aを見よ．

2.2.1 汎関数の計算

次の汎関数²

$$J[\phi]=\int_V \frac{\varepsilon}{2}\left(\nabla \phi \cdot\nabla \phi \right) \mathrm{d}V$$ (12)

の第一変分がゼロの時の，ラプラス方程式になる(付録A参照)．この第一変分がゼロになる $\phi$が求める--ことが静電場の問題となる．ここで重要なことは，被積分関数が1階の 微分になっていることである．後で述べることになるが，1階の微分だと一つの要素の隣 接する4つのポテンシャルから計算できる．

汎関数は3次元の積分であるが，これ以降，二次元で話を進める．三次元だと図を書くの が大変だし，式も長くなる．また，二次元であろうが三次元であろうが本質的に同じで， 三次元への拡張も簡単である．

任意の領域で式(12)の積分は，図3正方形メッシュに分割して近似計算できる．

$$U[\phi]=\frac{1}{2}\sum_i\sum_j \int_{\Omega_{ij}}\varepsilon\nabla \phi \cdot\nabla \phi \mathrm{d}V$$ (13)

四角形要素ごとに積分を行い，すべてを足しあわせることで全体の汎関数$U[\phi]$の値を計算 するのである．積分は要素ごとに行うので，誘電率が変化しても要素内で同一になるよう にしておけば計算は容易になる．

図 3: 有限要素法のメッシュとノード．おのおの要素ごとに積分を行う．

式(13)の計算は，四角形要素内での積分を行わなくてはならない．ひとつの 四角形要素を図4のようにし，それを4分割して積分を行う．まず1 番目の部分の勾配は

$$\nabla \phi =\left( \frac{\phi_{i+1\,j}-\phi_{i\,j}}{h},\, \frac{\phi_{i\,j+1}-\phi_{i\,j}}{h} \right)$$ (14)

となる．したがって，1番目の積分は，

$$\frac{1}{2}\int\varepsilon\nabla \phi \cdot\nabla \phi \mathrm{d}V =\frac{\varepsilon_{i+1/2\,j+1/2}}{8}\left[ (\phi_{i+1\,j}-\phi_{i\,j})^2+ (\phi_{i\,j+1}-\phi_{i\,j})^2 \right]$$ (15)

となる．同じことを2番目，3番目，4番目の領域に対して行い，合計すると$i\,j$番目の エレメントの積分値が計算できる．

$$\begin{multline} \int_{\Omega_{ij}}\varepsilon\nabla \phi \cdot\nabla \phi \mat... ...i\,j+1}-\phi_{i\,j})^2+ (\phi_{i+1\,j+1}-\phi_{i+1\,j})^2\right] \end{multline}$$

領域全体$\Omega$の積分は，

$$U[\phi] =\frac{1}{2}\sum_i\sum_j \int_{\Omega_{ij}}\varepsilon\nabla \phi \cdot\nabla \phi \mathrm{d}V$$

$$=\frac{1}{4}\sum_i\sum_j \varepsilon_{i+1/2\,j+1/2}\left[ (\phi_{i+1\,j}-\phi_{i\,j})^2+ (\phi_{i+1\,j+1}-\phi_{i\,j+1})^2\right.$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+(\phi_{i\,j+1}-\phi_{i\,j})^2+ (\phi_{i+1\,j+1}-\phi_{i+1\,j})^2\right]$$ (16)

となる．

図: 有限要素法のひとつの$i\,j$番目のエレメントとポテンシャル．要素内で誘 電率は一定で， $\varepsilon_{i\,j}$である．積分は1〜4の領域に分け て行う．

2.2.2 第一変分の計算

付録Aで述べたように，式(17)の個々の $\phi_{i\,j}$を変化させても，汎関数$U[\phi]$の値が変化しないとき，正しい ポテンシャル $\phi_{i\,j}$となる．ようするに，境界条件を満たしつつ，静電場のエネルギー $U[\phi]$が停留値--ここでは極小値--をとるポテンシャル$\phi$を探せということである．

式(17)汎関数が停留値になる条件は，

$$\if 11 \frac{\partial U}{\partial \phi_{1\,1}} \else \frac{\partial^{1} U}{\partial \phi_{1\,1}^{1}}\fi =0 \if 11 \frac{\partial U}{\partial \phi_{1\,2}} \else \frac{\partial^{1} U}{\partial \phi_{1\,2}^{1}}\fi =0 \if 11 \frac{\partial U}{\partial \phi_{1\,3}} \else \frac{\partial^{1} U}{\partial \phi_{1\,3}^{1}}\fi =0 \cdots \if 11 \frac{\partial U}{\partial \phi_{i\,j}} \else \frac{\partial^{1} U}{\partial \phi_{i\,j}^{1}}\fi =0 \cdots$$ (17)

となる．これらの式のうち，もっとも一般的な $\partial U/\partial \phi_{i\,j}$を計 算する． $i=1,\,2,\,3,\,\cdots$， $j=1,\,2,\,3,\,\cdots$と$i$と$j$を変化させれば， すべての式を得ることができる．ただし，境界に接する要素は気をつけなくてはならない．

$\partial U/\partial \phi_{i\,j}$を計算するために，式(17)の $\phi_{i\,j}$の周りの4つの要素に関わる項を書き出すと

$$U[\phi] =\cdots$$

$$\quad+\frac{\varepsilon_{i-1/2\,j-1/2}}{4}\left[ (\phi_{i\,j-1}-\... ...\,j})^2+(\phi_{i-1\,j}-\phi_{i-1\,j-1})^2+ (\phi_{i\,j}-\phi_{i\,j-1})^2\right]$$

$$\quad+\frac{\varepsilon_{i+1/2\,j-1/2}}{4}\left[ (\phi_{i+1\,j-1}... ...\,j})^2+(\phi_{i\,j}-\phi_{i\,j-1})^2+ (\phi_{i+1\,j}-\phi_{i+1\,j-1})^2\right]$$

$$\quad+\cdots$$

$$\quad+\frac{\varepsilon_{i-1/2\,j+1/2}}{4}\left[ (\phi_{i\,j}-\ph... ...j+1})^2+(\phi_{i-1\,j+1}-\phi_{i-1\,j})^2+ (\phi_{i\,j+1}-\phi_{i\,j})^2\right]$$

$$\quad+\frac{\varepsilon_{i+1/2\,j+1/2}}{4}\left[ (\phi_{i+1\,j}-\... ...j+1})^2+(\phi_{i\,j+1}-\phi_{i\,j})^2+ (\phi_{i+1\,j+1}-\phi_{i+1\,j})^2\right]$$

$$\quad+\cdots$$ (18)

となる．これは，式(17)の和の計算の部分を展開しただけであるが， 図5を見ればこうなることが分かるだろう．この結果を用いると，

$$\begin{multline}\if 11 \frac{\partial U}{\partial \phi_{i\,j}} \else \frac{\... ...}{2} \left(2\phi_{i\,j}-\phi_{i+1\,j}-\phi_{i\,j+1}\right) =0 \end{multline}$$

が得られる．これは，計算領域内部のすべてのポテンシャルについて成り立つ．したがって， 式(20)は， $i=1,\,2,\,3,\,\cdots$， $j=1,\,2,\,3,\,\cdots$とする ことにより連立方程式となっていることが理解できるだろう．境界条件としてポテンシャルの 値が与えれれているところをのぞいて，この連立方程式を解けばよい．

図: 汎関数の積分計算のうち，ポテンシャル $\phi_{i,\,j}$が関係する要素．

領域の境界でポテンシャルが与えられていない場合，その場所では電場が境界と垂直にな る³．これは，式(25)から保証される．

連立方程式(20)を見ると，ほとんど差分の式と同じである．もし，誘 電率が一定とすると差分の式と全く同一になる．

2.3 有限積分法

もちろん，有限積分法も適用できる．時間がないので，その解説は行わない．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志