7 付録

7.1 問題のある勾配の計算

非常に問題のある曲線座標の勾配の求め方を示す。スカラー場$f$は位置の関数で あるため、独立変数 $(u_1,u_2,u_3)$を使って、

$$f = f(u_1,u_2,u_3)$$ (60)

と書くことができる。この関数の全微分を計算して、勾配を計算するように変 形する。

$$df = \if 11 \frac{\partial f}{\partial u_1} \else \frac{\partial^{1}... ...\partial f}{\partial u_3} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial u_3^{1}}\fi du_3$$

$$=\frac{\partial f}{h_1\partial u_1}h_1du_1+ \frac{\partial f}{h_2\partial u_2}h_2du_2+ \frac{\partial f}{h_3\partial u_3}h_3du_3$$

$$=\left( \frac{\partial f}{h_1\partial u_1}, \frac{\partial f}{h_2... ...\partial f}{h_3\partial u_3} \right)\cdot\left( h_1du_1,h_2du_2,h_3du_3 \right)$$

$$=\left( \frac{\partial f}{h_1\partial u_1}, \frac{\partial f}{h_2\partial u_2}, \frac{\partial f}{h_3\partial u_3} \right)\cdot d\boldsymbol{r}$$ (61)

これを、式(28)と比べることにより、

$$\nabla \varphi =\left( \frac{\partial f}{h_1\partial u_1}, \frac{\partial f}{h_2\partial u_2}, \frac{\partial f}{h_3\partial u_3} \right)$$ (62)

と、勾配を求めることができる。

この方法の問題は、式(61)の3行目である。確かに、内積の右側の項 は

$$d\boldsymbol{r} =\left(h_1du_1,h_2du_2,h_3du_3\right)$$

$$=h_1du_1\hat{\boldsymbol{u}}_1+h_2du_2\hat{\boldsymbol{u}}_2+h_3du_3\hat{\boldsymbol{u}}_3$$ (63)

でベクトルになっている。しかし、左の項

$$\left( \frac{\partial f}{h_1\partial u_1}, \frac{\partial f}{h_2\... ...hat{\boldsymbol{u}}_2+ \frac{\partial f}{h_3\partial u_3}\hat{\boldsymbol{u}}_3$$ (64)

はベクトルとは限らない。この場合は、たまたまベクトルになっており、正しい結果が得 られただけである。
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著者: 山本昌志