6 いろいろな座標系の微分

これで、すべての準備が整った。電磁気学でよく使われる3つの座標系の微分を求めよう。 それぞれの座標系とそのスケール因子は、表1に示している。微 分は、式(34)と(42)、(50)を使う。

6.1 カーテシアン座標系

カーテシアン座標系では、通常、単位ベクトルには $(\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k})$が使われる。 そして、この座標系のスケール因子$(1,1,1)$を使うと、微分は以下のようになる。

$$\begin{align*}\begin{aligned}\nabla f &=\frac{\partial f}{1\times\partial x}\bol... ...symbol{j}+ \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{k} \end{aligned}\end{align*}$$ (51)

$$\begin{align*}\begin{aligned}\div{A} &=\frac{1}{1\times 1 \times 1}\left[ \frac{... ...tial A_y}{\partial y}+ \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{aligned}\end{align*}$$ (52)

$$\begin{align*}\begin{aligned}\nabla\times A &=\frac{1}{1 \times 1 \times 1} \beg... ...tial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\boldsymbol{k} \end{aligned}\end{align*}$$ (53)

6.2 円柱座標系

円柱座標系での単位ベクトルを $(\hat{\boldsymbol{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{z}})$ とする。そして、この座標系のスケール因子$(1,r,1)$を使うと、微分は以下のよう になる。

$$\begin{align*}\begin{aligned}\nabla f &=\frac{\partial f}{1\times\partial r}\hat... ...a}}+ \frac{\partial f}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z}} \end{aligned}\end{align*}$$ (54)

$$\begin{align*}\begin{aligned}\div{A} &=\frac{1}{1\times r \times 1}\left[ \frac{... ...tial \theta}+ r\frac{\partial A_z}{\partial z} \right] \end{aligned}\end{align*}$$ (55)

$$\begin{align*}\begin{aligned}\nabla\times A &=\frac{1}{1 \times r \times 1} \beg... ...}{\partial \theta^{1}}\fi \right] \hat{\boldsymbol{z}} \end{aligned}\end{align*}$$ (56)

6.3 極座標系

極座標系の単位ベクトルを $(\hat{\boldsymbol{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}})$ とする。そして、この座標系のスケール因子 $(1,r,r\sin\theta)$を使うと、微分は以下のよう になる。

$$\begin{align*}\begin{aligned}\nabla f &=\frac{\partial f}{1\times\partial r}\hat... ...\partial f}{\partial\varphi}\hat{\boldsymbol{\varphi}} \end{aligned}\end{align*}$$ (57)

$$\begin{align*}\begin{aligned}\div{A} &=\frac{1}{1\times r \times r\sin\theta}\le... ...\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \end{aligned}\end{align*}$$ (58)

$$\begin{align*}\begin{aligned}\nabla\times A &=\frac{1}{1 \times r \times r\sin\t... ...rtial \theta^{1}}\fi \right]\hat{\boldsymbol{\varphi}} \end{aligned}\end{align*}$$ (59)

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志