3 スカラーラプラス演算子

3.1 曲線座標の一般形

スカラーラプラス演算子は、スカラー場$f$の勾配の発散で、式(1)と (2)を用いて、

$$\div{\nabla f} =\div{ \left(\frac{\partial f}{h_1\partial u_1}\hat{\boldsymbol{u... ...dsymbol{u}}_2+ \frac{\partial f}{h_3\partial u_3}\hat{\boldsymbol{u}}_3\right)}$$

$$=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1} \left(\f... ...{\partial u_3} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial u_3^{1}}\fi \right) \right]$$ (13)

となる。

3.2 カーテシアン座標

カーテシアン座標$(x,y,z)$のスケール因子は、$(1,1,1)$なので、それを式 (13)に代入すれば、簡単に求められる。

$$\div{\nabla f} =\frac{1}{1\times 1\times 1}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1} ... ...l f}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial z^{1}}\fi \right) \right]$$

$$= \if 12 \frac{\partial f}{\partial x} \else \frac{\partial^{2} f... ...12 \frac{\partial f}{\partial z} \else \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\fi$$ (14)

3.3 円柱座標

円柱座標 $(r,\theta,z)$のスケール因子は、$(1,r,1)$なので、それを式 (13)に代入すれば求められる。

$$\div{\nabla f} =\frac{1}{1\times r\times 1}\left[ \frac{\partial}{\partial r} \l... ...l f}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial z^{1}}\fi \right) \right]$$

$$=\frac{1}{r}\left[ \frac{\partial}{\partial r} \left(r \if 11 \fr... ...l f}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial z^{1}}\fi \right) \right]$$

$$= \if 12 \frac{\partial f}{\partial r} \else \frac{\partial^{2} f... ...12 \frac{\partial f}{\partial z} \else \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\fi$$ (15)

3.4 極座標

極座標 $(r,\theta,\varphi)$のスケール因子は、 $(1,r,r\sin\theta)$なので、それを式 (13)に代入すれば求められる。

$$\div{\nabla f} =\frac{1}{1 \times r \times r\sin\theta}\left[ \frac{\partial}{\p... ...l \varphi} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial \varphi^{1}}\fi \right) \right]$$

$$=\frac{1}{r^2\sin\theta}\left[ \frac{\partial}{\partial r} \left(... ...l \varphi} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial \varphi^{1}}\fi \right) \right]$$

$$= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \if 11 \frac... ...{\partial \varphi} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial \varphi^{1}}\fi \right)$$ (16)

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著者: 山本昌志