4 ベクトルラプラス演算子

4.1 曲線座標の一般形

ベクトルラプラシアンは、ベクトル解析の恒等式

$$\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla \div{\boldsymbol{A}}-\nabla^2\boldsymbol{A}$$ (17)

に表れる。この式の右辺第2項がベクトルラプラス演算子(ベクトルラプラシアン)である。 従って、ベクトルラプラス演算子は、

$$\nabla^2\boldsymbol{A}=\nabla \div{\boldsymbol{A}}-\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}$$ (18)

から計算できる。右辺は、勾配と発散、回転からなる。式 (1),(2),(3)を用いて計算することになるが、 これには多くの計算が必要である。時間があるときに、Mathematicaのような数式処理シ ステムを使って、計算することにする。

4.2 カーテシアン座標

式(18)に、式 (4),(5),(6)を代 入して計算する。

$$\left(\nabla^2\boldsymbol{A}\right)_x =(\nabla \div{\boldsymbol{A}})_x-(\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A})_x$$

$$=\left\{ \nabla\left( \frac{\partial A_x}{\partial x}+ \frac{\partial A_y}{\partial y}+ \frac{\partial A_z}{\partial z}\right) \right\}_x$$

$$\quad\qquad -\left\{\nabla\times\left[ \left( \if 11 \frac{\parti... ...ac{\partial^{1} A_x}{\partial y^{1}}\fi \right)\boldsymbol{k} \right]\right\}_x$$

$$= \if 11 \frac{\partial }{\partial x} \else \frac{\partial^{1} }{... ...rtial A_z}{\partial x} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial x^{1}}\fi \right)$$

$$= \if 12 \frac{\partial A_x}{\partial x} \else \frac{\partial^{2}... ...frac{\partial A_x}{\partial z} \else \frac{\partial^{2} A_x}{\partial z^{2}}\fi$$

$$=\nabla^2 A_x$$ (19)

カーテシアン座標形は、すべての軸が同じ形をしている。従って、他の軸のベクトルラプ ラス演算子は、 $x \rightarrow y \rightarrow z$とサイクリックに記号を入れ替えるこ とにより容易に求められる。まとめると、カーテシアン座標系のベクトルラプラス演算子 は、

$$\left\{ \begin{aligned}\left(\nabla^2\boldsymbol{A}\right)_x &=... ...bla^2\boldsymbol{A}\right)_z &=\nabla^2 A_z \end{aligned} \right.$$

となる。実に、単純である。

4.3 円柱座標

円柱座標系も同じようにして、ベクトルラプラス演算子を求めることができる。式 (7),(8), (9)を式(18)に代入 すればよい。

$$\left(\nabla^2\boldsymbol{A}\right)_r =(\nabla \div{\boldsymbol{A}})_r-(\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A})_r$$

$$=\left\{ \nabla\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r... ..._{\theta}}{\partial \theta}+ \frac{\partial A_z}{\partial z} \right] \right\}_r$$

$$\quad\qquad -\left\{\nabla\times\left[ \left(\frac{1}{r} \if 11 \... ...{1} A_r}{\partial \theta^{1}}\fi \right) \hat{\boldsymbol{z}} \right]\right\}_r$$

$$= \if 11 \frac{\partial }{\partial r} \else \frac{\partial^{1} }{... ...rtial A_z}{\partial r} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial r^{1}}\fi \right]$$

$$= \if 11 \frac{\partial }{\partial r} \else \frac{\partial^{1} }{... ...frac{\partial A_r}{\partial z} \else \frac{\partial^{2} A_r}{\partial z^{2}}\fi$$

$$= -\frac{A_r}{r^2}+\frac{1}{r} \if 11 \frac{\partial A_r}{\partia... ...frac{\partial A_r}{\partial z} \else \frac{\partial^{2} A_r}{\partial z^{2}}\fi$$

$$= \if 12 \frac{\partial A_r}{\partial r} \else \frac{\partial^{2}... ...} \else \frac{\partial^{1} A_{\theta}}{\partial \theta^{1}}\fi -\frac{A_r}{r^2}$$

$$= \nabla^2 A_r -\frac{2}{r^2} \if 11 \frac{\partial A_{\theta}}{\... ...} \else \frac{\partial^{1} A_{\theta}}{\partial \theta^{1}}\fi -\frac{A_r}{r^2}$$ (21)

次に、$\theta$方向であるが、カーテシアン座標系みたいに添え字を入れ替えるだけでは すまない。式(21)の途中までは、添え字が異な るだけで同じである。異なる部分から計算を進めると、以下のようになる。

$$\left(\nabla^2\boldsymbol{A}\right)_{\theta} = \frac{1}{r} \if 11 \frac{\partial }{\partial \theta} \else \fra... ...{\partial \theta} \else \frac{\partial^{1} A_r}{\partial \theta^{1}}\fi \right]$$

$$= \frac{1}{r^2} \if 11 \frac{\partial }{\partial \theta} \else \f... ...A_{\theta}}{\partial z} \else \frac{\partial^{2} A_{\theta}}{\partial z^{2}}\fi$$

$$\hspace{60mm} + \if 11 \frac{\partial }{\partial r} \else \frac{\... ...tial \theta^{1}}\fi -\frac{1}{r}\frac{\partial^2A_r}{\partial r \partial\theta}$$

$$= \frac{1}{r^2} \if 11 \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \else... ...tial \theta^{1}}\fi -\frac{1}{r}\frac{\partial^2A_r}{\partial r \partial\theta}$$

$$= \if 12 \frac{\partial A_{\theta}}{\partial r} \else \frac{\part... ...} \else \frac{\partial^{1} A_r}{\partial \theta^{1}}\fi -\frac{A_{\theta}}{r^2}$$

$$= \nabla^2 A_{\theta} +\frac{2}{r^2} \if 11 \frac{\partial A_r}{\... ...} \else \frac{\partial^{1} A_r}{\partial \theta^{1}}\fi -\frac{A_{\theta}}{r^2}$$ (22)

最後に、$z$方向である。同じように計算をする。

$$\left(\nabla^2\boldsymbol{A}\right)_{z} = \if 11 \frac{\partial }{\partial z} \else \frac{\partial^{1} }{... ...a}}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_{\theta}}{\partial z^{1}}\fi \right]$$

$$= \frac{1}{r} \if 11 \frac{\partial }{\partial z} \else \frac{\pa... ...frac{\partial A_z}{\partial r} \else \frac{\partial^{2} A_z}{\partial r^{2}}\fi$$

$$\hspace{95mm} +\frac{1}{r^2} \if 12 \frac{\partial A_z}{\partial ... ...ta^{2}}\fi -\frac{1}{r}\frac{\partial^2 A_{\theta}}{\partial \theta \partial z}$$

$$= \frac{1}{r} \if 11 \frac{\partial A_r}{\partial z} \else \frac{... ...ial A_z}{\partial \theta} \else \frac{\partial^{2} A_z}{\partial \theta^{2}}\fi$$

$$= \if 12 \frac{\partial A_z}{\partial r} \else \frac{\partial^{2}... ...frac{\partial A_z}{\partial z} \else \frac{\partial^{2} A_z}{\partial z^{2}}\fi$$

$$= \nabla^2 A_z$$ (23)

これまでの結果をまとめると、円柱座標系のベクトルラプラス演算子は、次のようになる。

$$\left\{ \begin{aligned}\left(\nabla^2\boldsymbol{A}\right)_r &=... ...bla^2\boldsymbol{A}\right)_z &=\nabla^2 A_z \end{aligned} \right.$$

4.4 極座標

極座標系のベクトルラプラス演算子の計算は、円柱座標よりもさらに大変である。ここで は結果を載せることにとどめる。簡単に計算する方法が分かれば、これを改訂して載せる。

極座標 $(r,\theta,\varphi)$のベクトルラプラス演算子は、次のようになる。

$$\left\{ \begin{aligned}\left(\nabla^2\boldsymbol{A}\right)_r &=... ...{1} A_{\theta}}{\partial \varphi^{1}}\fi \\ \end{aligned} \right.$$

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志