定常伝熱解析熱伝導方程式の説明様々な熱伝導方程式
フーリエの法則から様々なタイプの熱伝導方程式を示します．
目次
はじめに
数値計算を行うにしても，元の物理現象が分からないと，何をやっているのかちんぷんかんぷんになります．熱伝導位ならばまだよいですが，より複雑な問題となると，物理現象の理解は必須でしょう．物理現象が理解できないで計算機の能力をふんだんに使い闇雲に計算する人もいますが，とても効率の悪い計算をしていることがあります．
熱伝導方程式
ある微少領域 \(\Delta V\) での温度 \(T\) \(\unit{K}\) の時間変化 \(\partial T/\partial t\) \(\unit{K/sec}\)は， \begin{align} \rho C \pdiffA{T}{t}\Delta V= Q_V\Delta V+\int_{\Delta V}\vm{q}\cdot\vm{n}\mathrm{d} S \label{eq:thermal_conservation_law} \end{align} となります．ここで，\(\rho\) は物質の密度 \(\unit{kg/m^3}\)，\(C\) は比熱 \(\unit{J/(kg\cdot K)}\)，\(Q_V\) は単位体積当たりの発熱 \(\unit{J/(m^3\cdot sec)}\)，\(\vm{q}\) は熱流束ベクトル \(\unit{J/(m^2\cdot sec)}\) です．この式は，各物理量の定義から自明でしょう．
熱流束により，単位体積当に流れ込む熱 \(Q_S\) は， \begin{align} Q_S &=-\lim_{\Delta V \to 0} \cfrac{\int_{\Delta V}\vm{q}\cdot\vm{n}\diff S}{\Delta V}\nonumber \\ &= -\div{\vm{q}} \end{align} です．熱流束ベクトルは温度と密接な関係には，フーリエの法則 と呼ばれる関係: \begin{align} \vm{q}=-\lambda\grad{T} \label{eq:fourier_law} \end{align} があります．ここで，\(\lambda\)は熱伝導率 \(\unit{J/(m\cdot K\cdot sec)}\) です．したがって， \begin{align} Q_S = \nabla\cdot(\lambda\nabla T) \end{align} です．以上をまとめると，式(\ref{eq:thermal_conservation_law})は， \begin{align} \rho C \pdiffA{T}{t}=Q_V+\nabla\cdot(\lambda\nabla T) \label{eq:thermal_basic} \end{align} となります．これが発熱がある場合の熱の拡散方程式です．通常，この式の内，密度 \(\rho\) と比熱 \(C\) と熱伝導率 \(\lambda\) は場所 \((x,\,y,\,z)\) の関数です．時間では変化しません．その一方で，温度 \(T\) と発熱量 \(Q_V\) は場所と時刻 \((x,\,y,\,z,\,t)\) の関数です．
定常状態
一般
定常状態の場合には時間の微分の項はすべてゼロになるので，式(\ref{eq:thermal_basic})は， \begin{align} \nabla\cdot(\lambda\nabla T)=-Q_V \label{eq:SteadyThermalEq} \end{align} となります．熱伝導率\(\lambda\)が，場所に依存しない場合: \begin{align} \lambda\nabla^2 T=-Q_V \label{eq:SteadyThermal_Poisson} \end{align} です．これは，単なるポアソン方程式です．現実の問題では，熱伝導率は材質ごとに変化しますが，連続的に変化することはありません．複数の部材から物は作られ，その境界では熱伝導率が不連続に変化します．したがって，部材境界を除いて，式 (\ref{eq:SteadyThermal_Poisson}) が成り立ちます．
軸対称問題
ここでは，軸対称の場合の熱伝導の方程式を求める．円柱座標のスカラーラプラス演算子 \(\nabla^2\) は， \begin{align} \nabla^2 f = \cfrac{1}{r}\pdiffA{}{r}\left(r\pdiffA{f}{r}\right)+ \cfrac{1}{r}\pdiffA{}{\theta}\left(\cfrac{1}{r}\pdiffA{f}{\theta}\right)+ \pdiffB{2}{f}{z} \end{align} である．これを式(\ref{eq:SteadyThermal_Poisson})に適用し，周方向 \(\theta\) の微分をゼロとすると， \begin{align} \cfrac{\lambda}{r}\pdiffA{}{r}\left(r\pdiffA{T}{r}\right)+ \lambda\pdiffB{2}{T}{z}= -Q_V \end{align} が得られる．普通の工学で取り扱われる軸対称構造では，周方向の温度は一定である．
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| 2016年07月03日 | ページの新規作成 |