5 はさみうち法

5.1 計算方法

2分法は収束が遅いので、それを少し改良した方法である。とはいっても、初 期値が悪いと2分法よりも収束が遅いこともある。初期値が解に近ければ、収 束は早くなる。2分法では$c$を$[a, b]$の中点とした。その代わりに、2点 $(a, f(a))$と $(b, f(b))$を結ぶ直線がx軸と交わる点を$c$とするのがはさ みうち法である。x軸と交点$c$は、

$$c=\frac{af(a)-bf(b))}{f(b)-f(a)}$$ (12)

となる。ゼロ点$\alpha$は常に区間$[a, b]$に存在する。次々に更新される $c$はゼロ点$\alpha$に収束するが、区間の幅$\vert b-a\vert$ はゼロに収束しない。 ある与えられた値 $\varepsilon$ に対して、 $\vert f(c)\vert<\varepsilon$ となれば 反復を停止させる。実際に式(2)を計算した結果を 図6に示す。交点が解に近づくことが理解できるは ずである。

フロチャートは、各自考えよ。

図 6: $f(x)=x^3-3x^2+9x-8$の実数解をはさみうち法で計算で、その解 の収束の様子を示している。初期値 $a=-0.5, b=5.5$から出発している。x 軸との交点 $x0, x1, x2, x3\cdots$が解析解 $x=1.1659\cdots$に収束していく 様子が分かる。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志