6 割線法

6.1 計算方法

ニュートン法とよく似た方法である。ニュートン法の接線の代わりに、2点 $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$と $(x_i, f(x_i))$を結ぶ直線(割線)を使う。 この直線がx軸と交わる点を、次の近似解$x_{i+1}$とする。はさみうち法と は異なり、$f(x_i)$の符号は考慮しない。x軸と交わる交点は、

$$x_{i+1}=x_i-f(x_i)\frac{x_i-x_{i-1}}{f(x_i)-f(x_{i-1})}$$ (13)

である。この式は、ニュートン法の漸化式(9)とよ く似ている。初期値$x_0, x_1$から始めて、漸化式 (13)を使って、次々に $x_2, x_3,\cdots$を計算す るのである。 $i\rightarrow\infty$で、 $x_i\rightarrow\alpha$に収束する。

ニュートン法では1回の反復当たり $f(x_i)$と $f^\prime(x_i)$の2回の計算が 必要なことに対して、割線法で新たに計算するのは、$f(x_i)$のみ である。したがって、ニュートン法よりも計算の手間が省け、計算速度が速くな る。実際にこの方法で式(2)を計算した結果を 図7に示す。交点が解に近づくことが理解できるであろ う。

フロチャートは、各自考えよ。

図 7: $f(x)=x^3-3x^2+9x-8$の実数解を割線法で計算し、その解の収束 の様子を示している。初期値 $x_{-2}=5.5, x_{-1}=5.0$から出発して、計 算を進めている。x軸との交点 $x_0, x_1, x_2, x_3\cdots$が解析解 $x=1.1659\cdots$に収束していく様子が分かる。

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著者: 山本昌志