二分法は収束が遅いので、それを少し改良した方法である。とはいっても、初期値が悪い
と二分法よりも収束が遅いこともある。初期値が解に近ければ、収束は早くなる。二分法
では
![$ c$](img118.png)
を
![$ [a,\,b]$](img119.png)
の中点とした。その代わりに、2点
![$ (a,\,f(a))$](img120.png)
と
![$ (b,\,f(b))$](img121.png)
を結
ぶ直線がx軸と交わる点を
![$ c$](img122.png)
とするのがはさみうち法である。x軸と交点
![$ c$](img123.png)
は、
![$\displaystyle c=\frac{af(a)-bf(b))}{f(b)-f(a)}$](img124.png) |
(12) |
となる。ゼロ点
![$ \alpha$](img125.png)
は常に区間
![$ [a,\,b]$](img126.png)
に存在する。次々に更新される
![$ c$](img127.png)
はゼロ点
![$ \alpha$](img128.png)
に収束するが、区間の幅
![$ \vert b-a\vert$](img129.png)
はゼロに収束しない。ある与えられた値
![$ \varepsilon$](img130.png)
に対して、
![$ \vert f(c)\vert<\varepsilon$](img131.png)
となれば反復を停止させる。実際に式
(
2)を計算した結果を図
6に示す。
交点が解に近づくことが理解できるはずである。
フロチャートは、各自考えよ。
図 6:
の実数解をはさみうち法で計算で、その解
の収束の様子を示している。初期値
から出発している。x
軸との交点
が解析解
に収束していく
様子が分かる。
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年6月24日