4 ニュートン法(Newton's method)

4.1 計算方法

関数

のゼロ点 $\alpha$ に近い近似値

から出発する。そして、関数

上の点

での接線が、x軸と交わる点を次の近似解

とする。そして、次の接線がx軸と交わる点を次の近似解

とする。同じことを繰り返して $x_3,\,x_4,\cdots$ を求める(図4)。この計算結果の数列 $(x_0,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\cdots)$ は初期値

が適当であれば、真の解 $\alpha$ に収束することは図より明らかであろう。

実際にこの数列を計算するためには、漸化式が必要である。図の用にすると、関数上の点 $(x_i,\,f(x_i))$ の接線を引き、それとx軸と交点 $x_{i+1}$ になる。まずは、 $x_{i+1}$ を求めることにする。点 $(x_i,\,f(x_i))$ を通り、傾きが $f^\prime(x_i)$ の直線の方程式は、

$\displaystyle y-f(x_i)=f^\prime(x_i)(x-x_i)$

(8)

である。図4より、

の時の

の値が $x_{i+1}$ になることが分かる。したがって、 $x_{i+1}$ は、

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f^\prime(x_i)}$

(9)

となる。これで、

から $x_{i+1}$ が計算できる。これをニュートン法の漸化式と言う。この漸化式を用いれば、次々とより精度の良い近似解を求めることができる。

計算の終了は、

$\displaystyle \left\vert\frac{x_{i+1}-x_i}{x_i}\right\vert<\varepsilon$

(10)

の条件を満たした場合とするのが一般的である。 $\varepsilon$ は計算精度を決める定数で、非常に小さな値である。これ以外にも計算の終了を決めることは可能なので、状況に応じて、計算の打ち切り方法を決めればよい。実際に式(2)を計算した結果を図4に示す。接線との交点が解に近づく様子がわかるであろう。

ニュートン法を使う上で必要な式は、式(9)のみである。計算に必要な式は分かったが、数列がどのように真の解 $\alpha$ に収束するか考える。 $x_{i+1}$ と真値 $\alpha$ の差の絶対値、ようするに誤差を計算する。 $f(\alpha)=0$ を忘れないで、テイラー展開を用いて、計算を進めると

$\begin{equation*}\begin{aligned}\vert\alpha-x_{i+1}\vert &=\left\vert\alpha-x_i+... ...=\left\vert O\left((\alpha-x_i)^2\right)\right\vert \end{aligned}\end{equation*}$

となる。

番目の近似値は、

番目に比べて2乗で精度が良くなるのである。これを、二次収束と言い、非常に早く解に収束する。例えば、 $10^{-3}$ の精度で近似解が得られているとすると、もう一回式(9)を計算するだけで、 $10^{-6}$ 程度の精度で近似解が得られるということである。一次収束の二分法よりも、収束が早いことが分かる。

ニュートン法の特徴をまとめると次のようになる。

長所: 初期値が適当ならば、収束が非常に早い(図 8)。
短所: 初期値が悪いと、収束しない(図9)。収束しない場合があるので、反復回数の上限を決めておく必要がある。

ニュートン法は複素数にも適用できる。また、連立方程式にも容易に拡張できる。諸君が学習してきた数は、自然数 $\rightarrow$ 整数 $\rightarrow$ 有理数 $\rightarrow$ 無理数 $\rightarrow$ 複素数 $\rightarrow$ ベクトル $\rightarrow$ 行列 $\rightarrow\cdots$ と拡張されてきた。しかし、どのような数であれ、演算規則は非常に似通っていることは今まで経験してきたとおりである。このことから、実数で成り立つ方法は、複素数や行列にも成り立つことが予想できる。このように考えると、ニュートン法が連立方程式や複素数に拡張できることも不思議ではない。