加速空洞伝送線路と共振器の回路モデル

いわゆるリニアック (Linac: Linear Accelerator) の高周波加速空洞には，定在波型と進行波型の加速管があります．定在波で加速するのか，進行波で加速するのかの違いです．これらの加速空洞内の電磁場を正確に取り扱うためには，三次元の解析が必要です．しかし，加速空洞の物理的な理解には三次元解析が良いとは限りません．基本的な理論を理解しないで，いわゆる力技の三次元シミュレーションで設計を行うと，とんでもないことになることがあります．非常に不安定な加速器を設計しているのを見たことがあります．理論的な側面を理解するためには，本質を失わない簡単なモデルで解析してみることを勧めます．

簡単なモデルと言っても，それを簡単に導くことは簡単ではありません．こういう場合，通常は先人たちの知恵を拝借するのが良いでしょう．ここでは，定在波型加速管の特性を等価回路モデルで示します．これは二重に有用です．(1)初学者に定在波型加速管の本質を示す，(2)実際の設計でパラメーターを決定する — に使うことができます．

図のような伝送線路を考えます．片側がグランド (電圧が 0 [V] に接地) されています．もう一方の導線の電圧\(V\)の正負と電流\(I\)の正負は図のとおりです．エネルギーの流れ\(P\)は，\(P=IV\)となります．左から右にエネルギーが流れるときには，電池は図あるいは図のように接続されています．右から左に流れる時も同様にふた通りの接続方法があります．

• 
  上の導線の電圧がプラス
• 

ここで言いたいことは，「電圧と電流の正負を決めたら，エネルギーの流れが決まる」と言うことです．伝送線路を考える場合，電圧には基準があり，電流とエネルギーは方向があることを理解しなくてはなりません．これは，ポインティングベクトルを考えたら当たり前のことです．

ここでは，伝送線路とそれに負荷を接続した場合の取り扱いを示します．重要な概念は，伝送線路の特性インピーダンスと負荷のインピーダンスです．

伝送線路の特性インピーダンス

伝送線路のインピーダンスの基本的な考え方を示します．インピーダンスの概念は非常に単純で，電圧と電流の比を表します．回路の寸法が波長に比べて十分小さい低周波回路では，配線を集中定数回路として扱えるため，通常は伝送線路の特性インピーダンスを意識する必要がありません．この場合，端子における電圧と電流の比は，主として接続された負荷によって決まります．

周波数が高くなり，回路の寸法が波長に対して無視できなくなると，伝送線路として取り扱う必要があります．伝送線路を伝わる進行波の電圧と電流の比である特性インピーダンスは，接続される負荷ではなく，伝送線路の形状と媒質で決まります．例えば，50Ωの同軸ケーブルでは，内導体の外径，外導体の内径および誘電体の特性によって決まります．電磁場で表現すれば，進行波の電場と磁場の比に対応します．

回路モデルでは，伝送線路のインピーダンスはそこに流れる電圧と電流の比になります．図のように，左から右にエネルギーが流れている場合，伝送線路のインピーダンスは

\begin{align} Z_0 = \cfrac{V}{I} \end{align}

と定義されます．右から左にエネルギーが流れる場合も，進行方向を正とした電流を用いれば同じ定義になります．エネルギーの流れる方向に関係なく，特性インピーダンスは正の値です．

エネルギーの流れる方向に関係無く，伝送線路を流れる進行波の電圧と電流の比はいつも一定です．それをインピーダンスと言います．

進行波と後進波

伝送線路を伝わる進行波と後進波について説明します．いずれも travelling wave です．進行波の電圧と電流は (\(V_f, I_f\))，後進波は (\(V_r, -I_r\))で表します．電圧と電流の正負の符号は図の通りです．それぞれの電圧 (\(V_f, V_r\)) と電流 (\(I_f, I_r\)) の値が正の時，進行波は右に，後進波は左に進みます．これを波として扱うためには，進行波の電圧\(V\)と電流は

\begin{align} &V=V_fe^{i(\omega t-k_x x+\phi_f)}& &I=I_fe^{i(\omega t-k_x x+\phi_f)}& \end{align}

です．ここで，\(\omega\)は波の角振動数，\(k_x\)は波数，\(\phi_f\)は初期位相です．指数関数の部分を \(e^{i(k_z z-\omega t+\phi_f)}\)としても，本質的な議論は変わりません．ただし，式の見通しが良い/悪いことがありますので，その場合は上手に表現を選択する必要があります．

同様に，後進波は

\begin{align} &V=V_re^{i(\omega t+k_x x+\phi_r)}& &I=-I_re^{i(\omega t+k_x x+\phi_r)}& \end{align}

となります．両方が存在する場合，定在波が生じます．これらの波は同じ伝送線路 (特性インピーダンス: \(Z_0\)) を移動します．したがって，電圧と特性インピーダンスを使い，電流を (\(V_f/Z_0, -V_r/Z_0\)) と表現することも可能です．

伝送線路に負荷接続

純抵抗を接続

インピーダンス\(Z_0\)の伝送線路に純抵抗 \(Z_L\) を接続した場合を考えます．この場合，次の条件が成り立ちます．

• 純抵抗の両端の電圧と電流の比は \(Z_L\) である．
• 伝送線路の進行波の電圧と電流の比は \(Z_0\) である．

一見すると，矛盾した条件のように思えます．一般に，\(Z_L\)と\(Z_0\)は異なるからです．しかし，この矛盾は反射波 (前節の後進波) を導入することで解消できます．すなわち，負荷を接続した場所\(x=x_0\)で

\begin{align} Z_L &= \cfrac{V_f e^{i(\omega t-k_x x_0+\phi_f)} + V_re^{i(\omega t+k_x x_0+\phi_r)}}{I_f e^{i(\omega t-k_x x_0+\phi_f)} - I_r e^{i(\omega t+k_x x_0+\phi_r)}}\nonumber\\ \nonumber\\ &=\cfrac{V_f e^{i(-k_x x_0+\phi_f)} + V_re^{i(k_x x_0+\phi_r)}}{I_f e^{i(-k_x x_0+\phi_f)} - I_r e^{i(k_x x_0+\phi_r)}}\nonumber\\ \nonumber\\ &=Z_0\cfrac{1+(V_r/V_f)e^{i(2k_x x_0+\phi_r-\phi_f)}}{1-(V_r/V_f)e^{i(2k_x x_0+\phi_r-\phi_f)}} \label{eq:connect_Z} \end{align}

ここで，負荷位置における電圧の反射係数を

\begin{align} \Gamma_L =\cfrac{V_r}{V_f}e^{i(2k_x x_0+\phi_r-\phi_f)} \end{align}

と定義すると，式\eqref{eq:connect_Z}から

\begin{align} Z_L &= Z_0\cfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}, & \Gamma_L &= \cfrac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0} \end{align}

となります．\(Z_L\)が正の純抵抗ならば\(\Gamma_L\)は実数です．\(Z_L>Z_0\)では\(\Gamma_L>0\)なので反射波は進行波と同相，\(0

一見矛盾した要請，すなわち伝送線路と負荷のインピーダンスが異なりそれぞれ電流と電圧の比が決まっていても，自動的に境界条件は満足されます．言い方を換えれば，境界条件を満足させるために反射波が生じます．

複素インピーダンスを接続

先の例では，伝送線路に抵抗 (インピーダンスが純実数) を接続しました．これを発展させ，インピーダンスが複素数，すなわちキャパシタンスやインダクタンス成分がある場合について取り扱います．この場合でも先の議論は成り立ちますが，反射係数は一般に複素数になります．\(\Gamma_L=|\Gamma_L|e^{i\phi}\)と書けば，

\begin{align} Z_L=Z_0\cfrac{1+|\Gamma_L|e^{i\phi}}{1-|\Gamma_L|e^{i\phi}} \end{align}

です．

伝送線路からみたインピーダンス

次に，伝送線路の端に複素インピーダンス\(Z_L\)の負荷を取り付け，負荷から距離\(\ell\)離れた観測点 a–a から負荷側を見たインピーダンス (電圧と電流の比) を計算します．具体的には，

\begin{align} Z_{a}=\frac{V_f(a)+V_r(a)}{I_f(a)-I_r(a)} \end{align}

です．負荷を\(x=0\)，観測点 a–a を\(x=-\ell\)とし，伝送線路を無損失とすると，観測点での反射係数は\(\Gamma_a=\Gamma_L e^{-2ik_x\ell}\)です．したがって，観測点から負荷側を見た入力インピーダンスは

\begin{align} Z_a &=Z_0\cfrac{1+\Gamma_L e^{-2ik_x\ell}} {1-\Gamma_L e^{-2ik_x\ell}}\nonumber\\ &=Z_0\cfrac{Z_L+iZ_0\tan(k_x\ell)} {Z_0+iZ_L\tan(k_x\ell)} \end{align}

となります．\(\ell=0\)では\(Z_a=Z_L\)，\(Z_L=Z_0\)では距離によらず\(Z_a=Z_0\)となります．

本節では，伝送線路に空洞共振器を接続した場合の回路論的な取り扱いを示します．加速器では，導波管と加速空洞の結合を取り扱う場合のモデルになります．

空洞共振器

回路の直列共振回路を用いて，共振器および外部との接続を表す特徴的な量 (共振周波数，Q値，外部Q値) の基礎的な話をします．

共振周波数とQ値

ここでは，空洞共振器を回路素子 (インダクタンス，キャパシタンスおよび抵抗) を用いて取り扱います．空洞共振器を特徴づける量は，共振角振動数\(\omega_0\)とQ値です．これらの量を回路素子で表すことを考えます．共振角振動数\(\omega_0\)は

\begin{align} \omega_0 &= \cfrac{1}{\sqrt{LC}}, & \omega_0^2 &= \cfrac{1}{LC} \end{align}

です．Q値は蓄積エネルギー\(U\)と消費電力\(P\)の比なので，

\begin{align} Q_0 &= \cfrac{\omega_0 U}{P} =\cfrac{\omega_0 L I^2}{I^2 R} =\cfrac{\omega_0 L}{R} \\ &\qquad\qquad \text{or} \nonumber \\ & = \frac{1}{\omega_0 C R} \end{align}

となります．空洞では空間の電場と磁場の形で，蓄積エネルギーは蓄えられます．消費電力は空洞壁を流れる電流によるジュール熱損失です (RFの壁損失)．

ここで，回路モデルの変数 \(L,\,C,\,R\) が3個に対して，共振空洞を特徴づける量 \(\omega_0,\,Q_0\)は2個です．シャントインピーダンスを導入して両者の数を一致させることもありますが，ここでは比で表せる量に注目します．

外部Q値

共振空洞を外部の伝送線路と接続すると，接続部を通して空洞から外部へエネルギーが流出します．共振回路から見ると，この外部損失は抵抗\(r_s\)が直列に接続されたものとして表せます．外部への損失によって定まるQ値を外部Q値と呼び，

\begin{align} Q_{ext}=\cfrac{\omega_0 L}{r_s} = \frac{1}{\omega_0 C r_s} \end{align}

で表されます．空洞壁と外部への全損失を用いて定義されるQ値を負荷Q値と呼び，

\begin{align} Q_L = \cfrac{\omega_0 L}{R+r_s} = \frac{1}{\omega_0 C (R+r_s)} \end{align}

になります．これらのQ値には，

\begin{align} \frac{1}{Q_L} = \cfrac{1}{Q_0}+\cfrac{1}{Q_{ext}} \end{align}

という関係があります．また，カップリング \(\beta\) を用いることで，

\begin{align} Q_L=\cfrac{Q_0}{1+\beta} \end{align}

となります．ただし，カップリングは

\begin{align} \beta = \cfrac{Q_0}{Q_{ext}} \end{align}

です．

伝送線路と空洞の結合

ここでは，伝送線路と空洞共振器の結合について考える．主な内容は， Edward L. Ginzton 著「Microwave measurements」の 9.1 節の内容です．後半は，実際の測定に関わることも記載しています．

計算モデル

• 

• 

トランスの1次側と2次側の電圧 (\(V_1,\,V_2\)) と 電流 (\(I_1,\,I_2\)) との関係は，

\begin{align} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i\omega L_1 & -i\omega M \\ i\omega M & -i\omega L_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} \label{eq:Trans_matrix} \end{align}

となります．トランスの二次側では，

\begin{align} V_2 = \cfrac{I_2}{i\omega C}+R_s I_2 \label{eq:2nd_circuit} \end{align}

が成り立ちます．

伝送線路から見たインピーダンス

回路モデル

式(\ref{eq:Trans_matrix})と式(\ref{eq:2nd_circuit})から，トランスの一次側から見たインピーダンス(図中の a–a の左側) は，

\begin{align} Z_{\mathrm{in}} &= \cfrac{V_1}{I_1} = i\omega L_1+ \cfrac{(\omega M)^2}{R_s +i\left(\omega L_2-\cfrac{1}{\omega C}\right)} \end{align}

ここで，共振角振動数\(\omega_0\)と無負荷Q値\(Q_0\)を

\begin{align} \omega_0^2 &= \cfrac{1}{L_2 C}, & Q_0 &= \cfrac{\omega_0 L_2}{R_s} \end{align}

と定義します．これらを使うと，共振器のリアクタンスは

\begin{align} \cfrac{\omega L_2-1/(\omega C)}{R_s} =Q_0\left(\cfrac{\omega}{\omega_0} -\cfrac{\omega_0}{\omega}\right) \end{align}

と書けます．さらに，結合部の自己インダクタンス\(L_1\)が十分小さい（\(\omega L_1/Z_0\ll 1\)）とし，共振時のカップリングを\(\beta\simeq(\omega_0 M)^2/(Z_0R_s)\)と定義します．伝送線路の特性インピーダンス\(Z_0\)で規格化した入力インピーダンスは

\begin{align} \cfrac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_0} \simeq \cfrac{\beta(\omega/\omega_0)^2} {1+iQ_0\left(\cfrac{\omega}{\omega_0} -\cfrac{\omega_0}{\omega}\right)} \label{eq:impedance_from_cavity} \end{align}

となります．共振近傍で\(|\omega-\omega_0|\ll\omega_0\)ならば，さらに

\begin{align} \cfrac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_0} \simeq \cfrac{\beta} {1+2iQ_0(\omega-\omega_0)/\omega_0} \end{align}

と近似できます．特に，共振時\(\omega=\omega_0\)には\(Z_{\mathrm{in}}/Z_0\simeq\beta\)です．

この結果を用いると図の回路は以下の図に置き換えられます．

• 

$S_{11}$応答

伝送線路の端に接続された負荷の応答の測定は，ネットワークアナライザを用いて行われます．特に，反射係数 \(S_{11}\): \begin{align} S_{11} = \Gamma= \cfrac{Z_{\mathrm{in}}-Z_0}{Z_{\mathrm{in}}+Z_0}=\cfrac{\cfrac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_0}-1}{\cfrac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_0}+1} \end{align} です．式\eqref{eq:impedance_from_cavity}を用いると， \begin{align} S_{11} &= \cfrac{\beta\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2-1-iQ_0\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}-\cfrac{\omega_0}{\omega}\right)}{\beta\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2+1+iQ_0\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}-\cfrac{\omega_0}{\omega}\right)} \\ &=-1+\cfrac{2\beta\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2}{1+\beta\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2+iQ_0\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}-\cfrac{\omega_0}{\omega}\right)} \end{align} に，なります．

実際の測定システムでは，共振空胴の入力端に伝送線路(同軸線路や導波管)があり，その先にネットワークアナライザを接続します．伝送線路で位相の変化や分散，減衰もあります．したがって，実際の測定で得られる量は，空洞入力端での反射係数 \(S_{11}\) に、伝送線路を往復することによる位相変化と減衰を掛けたものです．式で表すと， \begin{align} S_{11} &= \left[-1+\cfrac{2\beta\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2}{1+\beta\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2+iQ_0\left(\cfrac{\omega}{\omega_0}-\cfrac{\omega_0}{\omega}\right)}\right]\exp\{-i[\phi_0+\tau(\omega-\omega_0)]-\alpha_\ell\} \end{align} です．ここで，$\phi_0$ は伝送線路長さを表す位相，$\tau$ は分散関係の一次の成分，$\alpha_\ell$ は伝送線路の往復分の減衰です．空洞側から見た線路の不整合による多重反射は考慮されていません．ネットワークアナライザーに接続するので，整合は取れているはずです．通常伝送線路は短く，損失も少ないことから$\alpha_\ell=0$とすることが出来ます．また，同軸線路の場合には，分散が無いので $\tau=0$ です．

測定データをこの式を用いてフィッティングすることで，空洞の共振周波数とQ値，カップリングを求めることが出来ます．フィッティングのパラメーター (\(\omega_0, Q_0, \beta, \phi_0, \tau, \alpha_\ell\)) です．このフィッティングのプログラムを作成するのは面倒なので，Python ライブラリーである scikit-rf を使うことを強く勧めます．ほぼ，ここで示した式のフィッティングが出来ます．

共振空胴から見たインピーダンス

回路モデル

同様に，トランスの二次側 (b–b) から見た伝送線路の側のインピーダンスは，

\begin{align} Z = -\cfrac{V_2}{I_2} = i\omega L_2+\cfrac{(\omega M)^2}{Z_0 +i\omega L_1} = i\omega L_2+\cfrac{(\omega M)^2}{Z_0\left[1 +(\omega L_1/Z_0)^2\right]}\left(1-i\cfrac{\omega L_1}{Z_0}\right) \end{align}

となります．右辺第2項が，空洞側から見た伝送線路のインピーダンスです．この項を実部と虚部に分け，

\begin{align} Z_{ext}(\omega) &=\cfrac{(\omega M)^2}{Z_0+i\omega L_1} =R_{ext}(\omega)-iX_{ext}(\omega),\\ R_{ext}(\omega) &=\cfrac{(\omega M)^2} {Z_0\left[1+(\omega L_1/Z_0)^2\right]},\\ X_{ext}(\omega) &=R_{ext}(\omega)\cfrac{\omega L_1}{Z_0} \end{align}

と書きます．\(R_{ext}\)は伝送線路への電力流出を表す外部抵抗，\(-iX_{ext}\)は共振周波数をわずかに変化させるリアクタンスです．共振時のカップリング\(\beta\)は，空洞壁の損失抵抗\(R_s\)との比として

\begin{align} \beta &=\cfrac{R_{ext}(\omega_0)}{R_s}\\ &=\cfrac{(\omega_0 M)^2} {Z_0\left[1+(\omega_0 L_1/Z_0)^2\right]R_s} \end{align}

と定義できます．結合部のリアクタンスによる補正が

\begin{align} \cfrac{X_{ext}(\omega_0)}{\omega_0 L_2} =\cfrac{\beta R_s}{Z_0}\cfrac{L_1}{L_2} \ll 1 \end{align}

であれば，この補正と共振周波数のわずかな変化を無視できます．\(Q_0=\omega_0L_2/R_s\)を使うと，負荷Q値は

\begin{align} Q_L &\simeq\cfrac{\omega_0L_2} {R_s+R_{ext}(\omega_0)} =\cfrac{Q_0}{1+\beta} \end{align}

となります．

•