楕円

二次形式と楕円の方程式

二次形式

楕円を表す方程式は，二次形式で考えると便利なことが多い．楕円が表す二次形式は， \begin{align} \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & \alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=1 \label{eq:QuadraticForm} \end{align} です．座標 (\(x,\, y\)) と係数 (\(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)) は実数とします．この左辺の行列が曲線の性質を示します．言うまでもなく，これは \begin{align} \gamma x^2+2\alpha xy+\beta y^2=1 \label{eq:ellips} \end{align} と書き表すことができます．この係数に依存して方程式の解の集合 (\(x,\, y\)) が双曲線や直線，楕円になります．場合によっては実数解が無い場合もあります．

楕円の条件 (力ずくの導出)

この二次形式の性質を実感するために， \begin{align} f(x,\,y) = \gamma x^2+2\alpha xy+\beta y^2 \label{eq:f_xy} \end{align} を考えます．\(f(x,\,y)=1\) で，係数 \((\alpha,\,\beta,\,\gamma)\) がある条件を満たした時に,\((x,\,y)\) が楕円になります．図1は楕円です．図中の赤線が\(f(x,\,y)=1\)で，色付きの3Dプロット (surface plat) が \(f(x,\,y)\) です．係数の値を変えると，図2のように双曲線になります．以降，楕円になる係数の条件を捜します．

図1: 楕円 (α, β, γ)=(1, 1, 2)

図2: 双曲線 (α, β, γ)=(2, 1, 1)

明らかに，関数 \(f(x,\,y)\) は，原点を中心に対称です．そして，\(f(x,\,y)=1\) が楕円ならば，その楕円は原点を囲みます．原点 (\(0,\,0\)) では，\(f(0,\,0)=0\)です．また，原点では \(\partial f/\partial x=0\)， \(\partial f/\partial y=0\) です．原点が停留点になっていることが分かります．原点は極小あるいは極大，鞍点のいずれかになります．これらの原点での値の性質は，二次の微分 \begin{align} &\cfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2\gamma& &\cfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2\alpha& &\cfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2\beta \end{align} が決定します．二次の微分は座標の関数になっていません．したがって，この原点が極小ならば大域的にも極小，極大ならば大域的にも極大となります．\(f(x,\,y)=1\) が楕円の場合には原点を囲むことから，これが楕円になるためには，原点は極小でなてはなりません．すなわち，上に口が開いたおわん型です．原点が極小になる必要条件として，\(0\lt\gamma\) と \(0\lt\beta\) が課せられます．これで，\(x\) と \(y\) 軸方向では原点が極小が保証されました．残りは，その他の方向です．これは，係数の \(\alpha\) が重要な役割を果たします．

式\eqref{eq:ellips}が楕円になるための係数の \(\alpha\) の条件を捜します．そのために，式\eqref{eq:f_xy}を \((0,\,0)\) の周りでテイラー展開します．二次までテイラー展開すると， \begin{align} f(\Delta x,\,\Delta y)=\gamma\Delta x^2+2\alpha\Delta x\Delta y+\beta\Delta y^2 \end{align} となります．いかなる方向 \((\Delta x,\,\Delta y)\) でも,\(f(\Delta x,\,\Delta y)\) が正ならば，楕円になります．そこで， \begin{align} &\Delta x = \Delta r\cos\theta& &\Delta y = \Delta r\sin\theta& \end{align} と変数変換します．すると， \begin{align} f(\Delta r,\,\theta) = \left[\cfrac{1}{2}(\gamma+\beta)+\cfrac{1}{2}(\gamma-\beta)\cos(2\theta)+\alpha\sin(2\theta)\right]\Delta r^2 \end{align} となります．\(0\lt f(\Delta r,\,\theta)\) であれば，\eqref{eq:ellips}が楕円になります．楕円になる条件は，簡単な演算から，この条件は \begin{align} 0\lt\cfrac{1}{2}(\gamma+\beta)-\sqrt{\cfrac{(\gamma-\beta)^2}{4}+\alpha^2} \label{eq:over_0_abg} \end{align} です．これをまとめると， \begin{align} 0\lt\beta\gamma-\alpha^2 \label{eq:0_lt_bg-a^2} \end{align} となります．さらに，式\eqref{eq:over_0_abg}と式\eqref{eq:0_lt_bg-a^2}から，\(0\lt\beta\) かつ \(0\lt\gamma\) は明らかです．

以上をまとめると，式\eqref{eq:ellips}が楕円になる必要十分条件は，(1) \(0\lt\alpha\), (2) \(0\lt\beta\), (3) \(0\lt\beta\gamma-\alpha^2\) の三つです．

楕円の条件 (少しエレガント)

先の方法は，かなり強引な方法で式\eqref{eq:ellips}が楕円になる係数 (\(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)) の条件を示しました．もう少し，幾何学的なイメージがつかめる方法で，楕円になる係数の条件を求めます．

式\eqref{eq:QuadraticForm}の行列は 2×2 の実対称行列です．したがって，その固有値は実数で，固有ベクトルは直行します．固有値を \((\lambda_1,\,\lambda_2)\)，固有ベクトルを \(\left[(u_1,\,v_1),\,(u_2,\,v_2)\right]\) とします．固有ベクトルは単位ベクトルとします．したがって，式\eqref{eq:QuadraticForm}の行列は， \begin{align} \begin{bmatrix} \gamma & \alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{bmatrix} \label{eq:diagonalization} \end{align} と対角化が可能です．固有ベクトルからなる行列 \([(u_1,\,v_1),\,(u_2,\,v_2)]\) の逆行列は転置行列です．また， \begin{align} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} \label{eq:x_y_eigenvectors} \end{align} とすることができます．式 \eqref{eq:diagonalization} と式 \eqref{eq:x_y_eigenvectors} に式 \eqref{eq:QuadraticForm} を代入すると， \begin{align} \lambda_1 c_1^2+\lambda_2 c_2^2=1 \label{eq:c1_c2_ellipse} \end{align} が得られます．この式が成り立ち座標 \(x,\,y\) が楕円になるためには，二つの固有値が正であることが要請されます．蛇足ですが，式 \eqref{eq:c1_c2_ellipse} から，式 \eqref{eq:QuadraticForm} の楕円の長辺と短辺は固有ベクトルの方向であることが分かります．その大きさは，\((1/\sqrt{\lambda_1},\,1/\sqrt{\lambda_2})\) であることが分かります．

これまでの議論で，式 \eqref{eq:QuadraticForm} の行列の固有値が正であれば，この式が楕円を表すことが分かりました．次に，この行列の固有値が正になる条件を捜します．

係数と曲線

係数の条件によっては楕円になることが想像できます．これが成り立つためには，$0\lt\gamma$ かつ $0\lt\beta$ という条件が必要です．この二次形式の行列は実対称行列です．そのため，固有値は実数であることが保証されます．この行列の行列式:$\det(\vm{M})=\beta\gamma-\alpha^2$ の値により，解が表す曲線の形が変わります．以下の表と図の通りです．

図3: 双曲線 $\det(M)=-3$

図4: 直線 $\det(M)=0$

図5: 楕円  $\det(M)=1$

この性質は多次元で一般的に成り立ちます．二次元の場合，楕円になる条件は \begin{align} 0\lt\gamma && 0\lt\beta && 0 \lt \beta\gamma-\alpha^2 \label{eq:ellipse_condition} \end{align} です．最後の式は行列式です．これは正定値行列と呼ばれるものです．固有値が正であることが保証されます．

楕円の形と面積

加速器の起動理論では，しばしば楕円の方程式が現れます．そこで，二次形式での係数と楕円の関係を示します．式\eqref{eq:QuadraticForm}の行列の性質を考えます．楕円の場合，この行列には以下の性質があります．以降，式\eqref{eq:QuadraticForm}の行列の固有値を$[\lambda_1,\,\lambda_2]$，対応する固有ベクトルを$[x_1,\,y_1]$と$[x_2,\,y_2]$とします．

• 固有値は実数です．行列が実対称行列だからです． \begin{align} \lambda_1&=\cfrac{\beta+\gamma-\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4(\beta\gamma-\alpha^2)}}{2} \label{eq:eignevalue_1}\\ \lambda_2&=\cfrac{\beta+\gamma+\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4(\beta\gamma-\alpha^2)}}{2} \label{eq:eignevalue_2} \end{align}
• 固有値は正です．式\eqref{eq:QuadraticForm}に固有ベクトルを代入すると分かります．そして，楕円は原点を囲んでいます．
• 固有ベクトルは直交します．行列が実対称行列だからです．以降の議論では固有ベクトルの大きさは 1 に規格化されているものとします．規格化されていない固有ベクトルは以下のように記載可能です． \begin{align} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cfrac{\gamma-\beta-\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4(\beta\gamma-\alpha^2)}}{2\alpha} \\ 1 \\ \end{bmatrix} && \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cfrac{\gamma-\beta+\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4(\beta\gamma-\alpha^2)}}{2\alpha} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \label{eq:eignevectors} \end{align}
• 固有ベクトルを列ベクトルとする行列の逆行列と転置行列は等しいです．実対称行列なので，固有ベクトルは直行するからです．

ここで示した固有値と固有ベクトルを使うと，式\eqref{eq:QuadraticForm}は \begin{align} \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=1 \label{eq:ellips_eigen} \end{align} と書き換えることができます．そうして，式\eqref{eq:ellips}の解を表す $(x,y)$ を \begin{align} (x,\,y) = c_1(x_1,\,y_1)+c_2(x_2,\,y_2) \end{align} 固有ベクトルの線型結合で表します．すると， \begin{align} \begin{bmatrix} c_1 & c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1\\ c_2 \end{bmatrix}=1 \end{align} となります．幾何学的な意味を探るために，もう少し変形を進めます． \begin{align} \begin{bmatrix} c_1\sqrt{\lambda_1} & c_2\sqrt{\lambda_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1\sqrt{\lambda_1}\\ c_2\sqrt{\lambda_2} \end{bmatrix}=1 \end{align} これから，座標 $(c_1\sqrt{\lambda_1}, c_2\sqrt{\lambda_2})$ のは半径 1 の円 (図6の青線) を描くことが分かります．また，座標 $(c_1, c_2)$ は $x$ 方向に $1/\sqrt{\lambda_1}$ に，$y$ 方向に $1/\sqrt{\lambda_2}$ に伸ばされた楕円 (図6の緑線) になります．

図6の赤線は図5と同じです．矢印は固有ベクトルに固有値の平方根の逆数を乗じたもの，すなわち $(x_1,\,y_1)/\sqrt{\lambda_1}$ と $(x_2,\,y_2)/\sqrt{\lambda_2}$ です．楕円の長軸と短軸の方向が固有ベクトルの方向で，大きさは固有値の平方根です．長軸と短軸がこのようになる理由は単純です．$(x,\,y)=c_1(x_1,\,y_1)$ と$(x,\,y)=c_2(x_2,\,y_2)$をそれぞれ，式\eqref{eq:ellips_eigen}に代入して，$c_1$ と $c_2$ を計算すれば確認できます．直交性とベクトルが1に規格化されていることを利用すれば，計算は容易です．

以上の結果から，赤色の面積 $S$ は簡単です． \begin{align} S=\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}=\frac{\pi}{\sqrt{\beta\gamma-\alpha^2}}=\frac{\pi}{\sqrt{\det(M)}} \end{align} 平方根の中が正であることは，式\eqref{eq:ellipse_condition}から保証されています．

図6: 円と楕円

面積を使った楕円の表現

拘束条件

加速器の世界では， \begin{align} \gamma x^2+2\alpha xy+\beta y^2=\varepsilon \label{eq:ellips_acc} \end{align} で表現されることが多いです．$\varepsilon$ は楕円の面積を $\pi$ で割った値です．こうすると，変数が4個 $(\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\varepsilon)$ で楕円を表現するパラメター数3個より多くなります．そのため，ひとつの拘束条件が必要になります．通常，加速器の世界では \begin{align} \gamma = \frac{1+\alpha^2}{\beta} \label{eq:ellips_acc_condition} \end{align} とします．こうすることで，式\eqref{eq:ellips_acc}の右辺が面積を$\pi$で割った値になることを示します．

式\eqref{eq:ellips_acc}に対応する式\eqref{eq:ellips_eigen}は， \begin{align} \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\varepsilon \label{eq:ellips_eigen_eps} \end{align} となります．この場合，楕円の短軸と長軸の座標は $(x_1,\,y_1)\sqrt{\varepsilon/\lambda_1}$ と $(x_2,\,y_2)\sqrt{\varepsilon/\lambda_2}$ です．したがって，面積 $S$ は \begin{align} \cfrac{S}{\pi}=\frac{\varepsilon}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}=\frac{\varepsilon}{\sqrt{\beta\gamma-\alpha^2}} \end{align} となります．加速器の世界では，$S/\pi=\varepsilon$ とします．そのための条件は， \begin{align} \beta\gamma-\alpha^2=1 \label{eq:ellips_acc_condition2} \end{align} です．これは式\eqref{eq:ellips_acc_condition}と同じです．

以上で，式\eqref{eq:ellips_acc_condition}の条件がある時，\eqref{eq:ellips_acc}の右辺は面積を$\pi$で割った値になることを示しました．

固有値と固有ベクトル

式\eqref{eq:ellips_acc_condition2}が成り立つ場合の固有値と固有ベクトルは，以下のとおりです． \begin{align} \lambda_1&=\cfrac{\beta+\gamma-\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4}}{2} \label{eq:eignevalue_eps_1}\\ \lambda_2&=\cfrac{\beta+\gamma+\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4}}{2} \label{eq:eignevalue_eps_2} \end{align} \begin{align} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cfrac{\gamma-\beta-\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4}}{2\alpha} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cfrac{\gamma-\beta+\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4}}{2\alpha} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \label{eq:eignevectors_eps_2} \end{align}

楕円の重要な座標と傾き

長軸と短軸の傾き

前節の結果から，楕円とその長軸と短軸の傾き$\diff y/\diff x$は \begin{align} \ddiffA{y}{x}=\cfrac{2\alpha}{\gamma-\beta-\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4}},\quad \cfrac{2\alpha}{\gamma-\beta+\sqrt{(\gamma+\beta)^2-4}} \end{align} となります．

最大値/最小値とその傾き

図7の$p_1$ すなわち $y$ の最大値を捜します．そのために，式\eqref{eq:ellips_acc}の両辺を$x$で微分します．そして，$\diff y/\diff x=0$ とすると \begin{align} \gamma x+\alpha y = 0 \end{align} が得られます．傾きは直ちに $-\gamma/\alpha$ です．これを $x$ について整理し式\eqref{eq:ellips_acc}に代入すると \begin{align} \max(y)=\sqrt{\gamma\varepsilon} \end{align} となります．途中の式の変形に式\eqref{eq:ellips_acc_condition2}を使います．その時の $x$ の値は $-\alpha\sqrt{\varepsilon/\gamma}$ です．最小値の $y$ は $-\sqrt{\gamma\varepsilon}$ です．

次に，$x$の最小値 (図7の $p_2$) の値を計算します．先ほど同様に，式\eqref{eq:ellips_acc}の両辺を$y$で微分します．そして，$\diff x/\diff y=0$ とすると \begin{align} \alpha x+\beta y = 0 \end{align} が得られます．傾きは直ちに $-\alpha/\beta$ です．これを $y$ について整理し式\eqref{eq:ellips_acc}に代入すると， \begin{align} \min(x)=-\sqrt{\beta\varepsilon} \end{align} となります．その時の $x$ の値は $\alpha\sqrt{\varepsilon/\beta}$ です．最大値の $y$ は $\sqrt{\beta\varepsilon}$ です．

切片の座標

楕円の切片の座標 (図7の $p_4$) を求めます．$y$ 軸との切片を求めます．$x=0$ を式\eqref{eq:ellips_acc}に代入すると \begin{align} y=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\beta}} \end{align} となります．$y=0$の場合は，図7の $p_5$ が得られ \begin{align} x=-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\gamma}} \end{align} となります．

図7: 楕円の重要な座標と傾き

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last update:2022/04/17 23:07:43