電磁気学グリーン関数

グリーン関数とは

一次元

自己随伴演算子 \(\mathcal{L}\) を使った微分方程式(シュツルム・リウヴィル方程式) \begin{align} \mathcal{L}y(x)+f(x)=0 \end{align} を考えます．これは非同次項 \(f(x)\) があるので，非同次微分方程式です．この方程式を解くテクニックのひとつにグリーン関数を使った方法があります．

一次元の場合，自己随伴演算子 \(\mathcal{L}\) は， \begin{align} \mathcal{L}=\ddiffA{}{x}\left[p(x)\ddiffA{}{z}\right]+q(x) \end{align} \begin{align} \mathcal{L}=\ddiffA{ }{x} \end{align} と定義されます．

簡単な例

グリーン関数のイメージが湧き易い例として，ポアソン方程式を解く場合を考えましょう．静電場の問題に現れるポアソン方程式は， \begin{align} \nabla^2\phi(\vm{r})=\cfrac{1}{\varepsilon}\rho(\vm{r}^\prime) \end{align} です．次の場合，この方程式は簡単に解くことができます．

• 空間は等方で無限に広がっている．すなわち，極角\(\theta\)方位角\(\phi\)との微分はゼロになる．
• 単位電荷が座標$\vm{r}^\prime$にある．

式で表すと， \begin{align} \nabla^2\phi(\vm{r})=\cfrac{1}{\varepsilon}\delta(\vm{r}^\prime) \end{align} になります．もちろん，$\delta(r)$は，デルタ関数です． \begin{align} \phi(\vm{r})=\cfrac{1}{4\pi\varepsilon|\vm{r}-\vm{r}^\prime|} \end{align}

ページ作成情報

参考資料

更新履歴

last update:2017/05/21 18:44:17