3 静電場が満たす偏微分方程式

3.1 スカラーポテンシャル

まずは、静電場が満たす方程式を示す。これはマクスウェルの方程式の時間の項をゼロとした式になる。それは、

	$\displaystyle \div{\boldsymbol{D}}=\rho$	(1)
	$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}=0$	(2)

と書き表せる。ここで、 $\boldsymbol{D}$ は電束密度、 $\boldsymbol{H}$ は電場の強さ、 $\boldsymbol{\rho}$ は電荷密度を表す。ただし、物質中では

$\displaystyle \boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$

(3)

の関係がある。ここで、 $\varepsilon$ は誘電率である。これは、異方性の物質では2階のテンソルとなる。しかし、ほとんど実用に使われている物質は、等方的である。そこで、ここでは、等方的な物質のみを考えることにする。すると、それはスカラー量として取り扱うことができ、計算が簡単になる。静電場の問題は、全て電束密度と電場の関係式 (3)を用い、連立偏微分方程式(1)と (2)を解くことになる。これで、全てであるが、問題によっては簡単に解けないのである。問題に応じた解法が必要となってくるが、基本はこれらの方程式であることを忘れてはならない。

通常、静電場の問題では電場 $\boldsymbol{E}$ を計算するより、ポテンシャルを計算する方が簡単である。電場はベクトルで未知数が3個あるが、ポテンシャルはスカラーなので未知数が1 個で済む。どう見ても計算が簡単である。このポテンシャル $\phi$ は、正確にはスカラーポテンシャルと言い

$\displaystyle \boldsymbol{E}=-\nabla \phi$

(4)

と定義される。こうすることにより、静電場のマクスウェルの方程式 (2)が自動的に満足される²。

これで、静電場のマクスウェルの方程式のひとつが満足したので、残りを満足させるためのスカラーポテンシャルの条件を探せばよい。残りの式(1)と式 (3)、そしてスカラーポテンシャルの定義とから、

$\displaystyle \rho$	$\displaystyle =\div{\boldsymbol{D}}$
	$\displaystyle =\div{\varepsilon\boldsymbol{E}}$
	$\displaystyle =-\nabla\cdot(\varepsilon\nabla \phi )$	(5)

が直ちに分かる。これが静電場を計算するときのスカラーポテンシャルが満たすべき偏微分方程式である。右辺と左辺を入れ替えて、見栄えよく記述すると

$\displaystyle \nabla\cdot(\varepsilon\nabla \phi )$

$\displaystyle =-\rho$

(6)

となる。以前求めた、静磁場のベクトルポテンシャルが満足する偏微分方程式と似た形をしている。次節では、この汎関数を示す。

汎関数を示す前に、もう少し一般的なことを述べておく。誘電率は一定と考えることが多い。その場合、誘電率は積分の外に出すことができ、

$\displaystyle \nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon}$

(7)

となる。これは、ポアッソン(Poisson)方程式と呼ばれる。また、計算する領域内に電荷が無い問題も多く、その場合は

$\displaystyle \nabla^2\phi=0$

(8)

となる。これは、ラプラス(Laplace)方程式と呼ばれる。

実際の静電場の問題では、マクスウェルの方程式から直接導かれる式 (1)や(2)の代わりに、適当な境界条件を課して、式(6)や(7)、 (8)を計算することにある。これらの式のうち、条件に適合した最も簡単式を選択するのは言うまでもない。次節ではもっとも条件の厳しい、式 (6)の汎関数を示す。

3.2 汎関数

静磁場の汎関数から、静電場のそれは

$\displaystyle F[\phi] =\int\left[\frac{\varepsilon}{2}\left(\nabla \phi \right)^2 -\rho\phi\right]dV$

(9)

と想像できる。本当かどうか、この式の第一変分 $\delta F$ を計算し、それがゼロになる条件を考えることにする。第一変分は、 $\phi$ を $\delta\phi$ 変化させたときの微小変化量で

$\displaystyle \delta F$	$\displaystyle =F[\phi+\delta\phi]-F[\phi]$
	$\displaystyle =\int\left[\frac{\varepsilon}{2} \left\{\nabla\left(\phi+\delta\p... ...\phi+\delta\phi\right)\right\} -\rho\cdot\left(\phi+\delta\phi\right) \right]dV$
	$\displaystyle \qquad\qquad -\int\left[\frac{\varepsilon}{2} \left(\nabla\phi\right)^2 -\rho\phi \right]dV$
	$\displaystyle =\int\left[\frac{\varepsilon}{2} \left\{\left(\nabla \phi \right)... ...) +\left(\nabla \delta\phi \right)^2\right\} -\rho\phi-\rho\delta\phi \right]dV$
	$\displaystyle \qquad\qquad -\int\left[\frac{\varepsilon}{2} \left(\nabla\phi\right)^2 -\rho\phi \right]dV$
	2次の微少量を無視すると
	$\displaystyle =\int\left[\varepsilon \left(\nabla \phi \right)\cdot\left(\nabla \delta\phi \right) -\rho\delta\phi \right]dV \nonumber$
	ベクトル恒等式 $\div{(\boldsymbol{V}f)}=\boldsymbol{V}\cdot\nabla f+f\div{\boldsymbol{V}}$ を上手につかう
	$\boldsymbol{V}=\varepsilon(\nabla \phi ),\quad f=\delta\phi$ とする。
	$\displaystyle =\int\left[ \nabla\cdot\left\{\varepsilon(\nabla \phi )\delta\phi... ...\phi\nabla\cdot\left\{\varepsilon(\nabla\phi)\right\} -\rho\delta\phi \right]dV$
	この式の第1項に発散定理を使い、式を整理すると
	$\displaystyle =\int\varepsilon(\nabla \phi )\delta\phi\cdot\boldsymbol{n}dS+ \int\left[ \nabla\cdot(\varepsilon\nabla\phi)-\rho \right]\delta\phi dV$	(10)