加速空洞Panofsky — Wenzel theorem式の証明と数値計算

Panofsky — Wenzel theorem

Panofsky — Wenzel 定理のざっくりした説明は「横方向のキック (横インピーダンス・横ウェイク) は，縦方向の電場 (縦ウェイク) の横方向勾配から決まる」です．

図1: RF空洞によるビームのキック

証明

まずは，横方向運動量の変化を示す Panofsky — Wenzel theorem の式を導く．

この式が有用な点は，縦方向の電場のみで横方向の運動量の変化が計算できることである．微分が含まれているが，面倒な磁場の計算が入っていない．

さて，このPanofsky — Wenzelの定理を証明しよう．まずは，マクスウェルの方程式のひとつ (ファラデーの法則) : \begin{align} \rot{\vm{E}}=-\cfrac{\partial\vm{B}}{\partial t} \end{align} から出発する．これを横方向の成分で書き表すと， \begin{align} \begin{bmatrix} -\partial_z E_y + \partial_y E_z\\ \phantom{-}\partial_z E_x - \partial_x E_z\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\partial_t B_x \\ -\partial_t B_y \\ \end{bmatrix}\label{eq:Farady} \end{align} となる．

式\eqref{eq:Farady}の左辺もどき
これに関して，以下の計算を行う． \begin{align} \partial_z\vm{E}_\perp-\vm{\nabla}_\perp E_z & = \partial_z \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} \partial_x \\ \partial_y \end{bmatrix} E_z \nonumber\\[0.4em] &= \begin{bmatrix} \partial_z E_x - \partial_x E_z\\ \partial_z E_y - \partial_y E_z \end{bmatrix}\nonumber\\[0.4em] &= \begin{bmatrix} -\partial_t B_y \\ \phantom{-}\partial_t B_x \end{bmatrix} \end{align}

式\eqref{eq:Farady}の右辺もどき
次の式は，$z$ 方向の単位ベクトル $\hat{\vm{z}}$ を使い，右辺もどきの計算を行う． \begin{align} -\partial_t(\vm{B}_\perp\times\hat{\vm{z}}) = \begin{bmatrix} -\partial_t B_y \\ \phantom{-}\partial_t B_x \end{bmatrix} \end{align}

式\eqref{eq:Farady}をまとめる
以上をまとめると， \begin{align} \partial_z\vm{E}_\perp-\vm{\nabla}_\perp E_z &= -\partial_t(\vm{B}_\perp\times\hat{\vm{z}}) \label{eq:Frady_2} \end{align} となる．これはファラデーの法則の別の表現となっている．

時間領域から周波数領域に
式\eqref{eq:Frady_2}は，時間領域の式である．CST Studio の計算は Eigenmode solver を使うので，周波数領域の解が得られる．そこで，式\eqref{eq:Frady_2}を周波数領域に書き換える．フーリエ変換ではあるが，実際には $\partial_t$ を $-i\omega$ に置き換えるだけである．すなわち， \begin{align} \partial_z\vm{E}_\perp-\vm{\nabla}_\perp E_z = i\omega(\vm{B}_\perp\times\hat{\vm{z}}) \end{align} である．これは，後でのローレンツ力の計算に便利なように，以下のように変形する． \begin{align} \hat{\vm{z}}\times\vm{B}_\perp = \frac{1}{i\omega}\left(\vm{\nabla}_\perp E_z-\partial_z\vm{E}_\perp\right) \label{eq:Frady_3} \end{align}

横方向運動量の変化
RF空洞内のローレンツ力の横方向成分を時間積分することにより，横方向の運動量の変化($\Delta\vm{p_\perp}$)が計算できる．具体的な計算は，以下のとおりである． \begin{align} \Delta\vm{p_\perp} & = \int_{-\infty}^\infty\vm{F}_\perp \diff t \nonumber\\[0.4em] & = \frac{q}{v}\int_{-\infty}^\infty\left[\vm{E}_\perp+(\vm{v}\times\vm{B})_\perp\right]e^{-i\omega z/v}\diff z \nonumber\\[0.4em] & = \frac{q}{v}\int_{-\infty}^\infty\left[\vm{E}_\perp+v(\hat{\vm{z}}\times\vm{B}_\perp)\right]e^{-i\omega z/v}\diff z \nonumber\\[0.6em] & \qquad\qquad\text{式\eqref{eq:Frady_3}を適用する} \nonumber\\[0.6em] & = \frac{q}{v}\int_{-\infty}^\infty\left[\vm{E}_\perp+\frac{v}{i\omega}\left(\vm{\nabla}_\perp E_z-\partial_z\vm{E}_\perp\right)\right]e^{-i\omega z/v}\diff z \nonumber\\[0.4em] & = \frac{q}{v}\int_{-\infty}^\infty\left[ \vm{E}_\perp e^{-i\omega z/v} -\frac{v}{i\omega}\partial_z\vm{E}_\perp e^{-i\omega z/v} +\frac{v}{i\omega}\vm{\nabla}_\perp E_z e^{-i\omega z/v} \right]\diff z \nonumber\\[0.6em] & \qquad\qquad\text{右辺第二項を部分積分する} \nonumber\\[0.6em] &=-\left[\frac{q}{v}\frac{v}{i\omega}\vm{E}_\perp e^{-i\omega z/v}\right]_{-\infty}^\infty +\frac{q}{v}\int_{-\infty}^\infty\left[ \vm{E}_\perp e^{-i\omega z/v} -\frac{v}{i\omega}\frac{i\omega}{v}\vm{E}_\perp e^{-i\omega z/v} +\frac{v}{i\omega}\vm{\nabla}_\perp E_z e^{-i\omega z/v} \right]\diff z \nonumber\\[0.4em] & \qquad\qquad\text{右辺第一項はゼロになる．式を整理する．} \nonumber\\[0.4em] & = -\frac{iq}{\omega}\vm{\nabla}_\perp\int_{-\infty}^\infty E_z e^{-i\omega z/v}\diff z \label{eq:PW} \end{align} 以上で，Panofsky — Wenzelの定理が証明された．横方向の運動量の変化が軸方向の電場 $E_z$ の積分から得られる．

数値計算

この定理が正しいことを数値計算で示します．数値計算が正しいことを，この定理から確認すると言っても良いでしょう．

数値計算には，CST Studio を使います．これは，RF空洞の固有モードの計算とビームダイナミックスの計算が可能です．

ページ作成情報

参考資料

更新履歴

last update:2026/02/11 12:48:40